Задание 15

Стереометрия (с доказательством) · 57 заданий

Задание №15
№15Среднее
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
Задание №15
№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁ B₁ соответственно. Известно, что AM = 3 MA₁, A₁ K = KB₁. Через точ…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
Задание №15
№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого сеч…
Тела вращения
Задание №15
№15Сложное
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка M - середина ребра AB. Плоскость α, перпен…
Многогранники
Задание №15
№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N - середины боковых стор…
Многогранники
Задание №15
№15Сложное
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ плоскостью α, содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC является ромб. а) Докажите, что г…
Многогранники
Задание №15
№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на ребрах SD и BC соответственно…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, и C, а на окружности другог…
Тела вращения
Задание №15
№15Сложное
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O - центр основания пирамиды, точка M - середина ребра SC, точка K делит ребро BC…
Многогранники

Задание №15 — Объемы

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B ,$ и $C ,$ а на окружности другого основания - точка $C_{1} ,$ причем $CC_{1}$ - образующая цилиндра, а $AC$ - диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30^{\circ} , AB = \sqrt{2} , CC_{1} = 2 .$
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_{1}$ и $BC$ равен $45^{\circ} .$
б) Найдите объем цилиндра.

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

По условию задачи имеем: $\angle ACB = 30^{\circ}$ , длина хорды $AB = \sqrt{2}$ , а высота цилиндра $CC_{1} = 2$ .

а) 1) Рассмотрим образующую цилиндра $BB_{1}$ .
2) Поскольку отрезок $AC$ является диаметром основания, вписанный угол $ABC$ , опирающийся на него, равен $90^{\circ}$ .
3) Так как $BB_{1}$ перпендикулярна плоскости основания, то $BB_{1} \perp AB$ и $BB_{1} \perp B_{1}C_{1}$ . Согласно теореме о трех перпендикулярах, из перпендикулярности проекции следует, что $AB_{1} \perp B_{1}C_{1}$ .
4) В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ лежит против угла в $30^{\circ}$ , значит, гипотенуза $AC = 2 \cdot AB = 2\sqrt{2}$ . Тогда по теореме Пифагора катет $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{8 - 2} = \sqrt{6}$ . Заметим, что $B_{1}C_{1} = BC = \sqrt{6}$ .
5) Из прямоугольного треугольника $ACC_{1}$ найдем диагональ $AC_{1}$ по теореме Пифагора: $AC_{1} = \sqrt{AC^2 + CC_{1}^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12}$ .
6) Теперь рассмотрим треугольник $AB_{1}C_{1}$ . Длина катета $AB_{1} = \sqrt{AC_{1}^2 - B_{1}C_{1}^2} = \sqrt{12 - 6} = \sqrt{6}$ .
Так как $AB_{1} = B_{1}C_{1} = \sqrt{6}$ , прямоугольный треугольник $AB_{1}C_{1}$ является равнобедренным. Следовательно, углы при его гипотенузе равны: $\angle AC_{1}B_{1} = \angle B_{1}AC_{1} = 45^{\circ}$ . Что и требовалось доказать.

б) 7) Вычислим площадь основания цилиндра: $S = \pi \cdot R^2 = \pi \cdot \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = \pi \cdot (\sqrt{2})^2 = 2\pi$ .
Объем цилиндра находим как произведение площади основания на высоту: $V = S \cdot CC_{1} = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$ .

Ответ: б) $4 \pi$

Источник: ФИПИ