Решение:

По условию задачи имеем: $\angle ACB = 30^{\circ}$, длина хорды $AB = \sqrt{2}$, а высота цилиндра $CC_{1} = 2$.

а) 1) Рассмотрим образующую цилиндра $BB_{1}$.
2) Поскольку отрезок $AC$ является диаметром основания, вписанный угол $ABC$, опирающийся на него, равен $90^{\circ}$.
3) Так как $BB_{1}$ перпендикулярна плоскости основания, то $BB_{1} \perp AB$ и $BB_{1} \perp B_{1}C_{1}$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, из перпендикулярности проекции следует, что $AB_{1} \perp B_{1}C_{1}$.
4) В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ лежит против угла в $30^{\circ}$, значит, гипотенуза $AC = 2 \cdot AB = 2\sqrt{2}$. Тогда по теореме Пифагора катет $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{8 - 2} = \sqrt{6}$. Заметим, что $B_{1}C_{1} = BC = \sqrt{6}$.
5) Из прямоугольного треугольника $ACC_{1}$ найдем диагональ $AC_{1}$ по теореме Пифагора: $AC_{1} = \sqrt{AC^2 + CC_{1}^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12}$.
6) Теперь рассмотрим треугольник $AB_{1}C_{1}$. Длина катета $AB_{1} = \sqrt{AC_{1}^2 - B_{1}C_{1}^2} = \sqrt{12 - 6} = \sqrt{6}$.
Так как $AB_{1} = B_{1}C_{1} = \sqrt{6}$, прямоугольный треугольник $AB_{1}C_{1}$ является равнобедренным. Следовательно, углы при его гипотенузе равны: $\angle AC_{1}B_{1} = \angle B_{1}AC_{1} = 45^{\circ}$. Что и требовалось доказать.

б) 7) Вычислим площадь основания цилиндра: $S = \pi \cdot R^2 = \pi \cdot \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = \pi \cdot (\sqrt{2})^2 = 2\pi$.
Объем цилиндра находим как произведение площади основания на высоту: $V = S \cdot CC_{1} = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

Ответ: б) $4 \pi$

Источник: ФИПИ