Задание №15 — Сечения

Решение:

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, в которой сторона основания $AB = 8$, боковое ребро $SB = 7$. Точка $M$ лежит на ребре $AB$ так, что $AM = 2$, следовательно, $MB = 8 - 2 = 6$. Точка $K$ находится на ребре $SB$ на расстоянии $SK = 1$, значит, $BK = 7 - 1 = 6$. Плоскость сечения $\alpha$ проходит через $M$ и $K$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$.
а) 1) Пусть $SO$ — высота пирамиды. Опустим перпендикуляр $KH$ из точки $K$ на плоскость основания. Так как $KH \parallel SO$, то $KH \perp (ABC)$, и точка $H$ лежит на отрезке $OB$. Следовательно, прямая $MH$ является следом плоскости $\alpha$ на основании пирамиды.
2) Продлим прямую $MH$ до пересечения с ребром $DC$ (или его продолжением) в точке $C_{1}$.
3) Рассмотрим подобные треугольники $KHB$ и $SBO$ (у них общий угол при вершине $B$ и прямые углы при вершинах $H$ и $O$).
Из подобия следует: $\frac{HB}{OB} = \frac{KB}{SB} = \frac{6}{7}$.
Обозначим $HB = 6x$, тогда $OB = 7x$. Отсюда $OH = x$. Учитывая, что $O$ — центр квадрата, $DO = OB = 7x$, тогда $DH = DO + OH = 7x + x = 8x$.
4) Треугольники $MHB$ и $C_{1}HD$ подобны по двум углам (вертикальные углы при вершине $H$ и накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$).
Составим пропорцию: $\frac{MB}{DC_{1}} = \frac{HB}{DH} = \frac{6x}{8x} = \frac{6}{8}$.
Вычислим длину отрезка $DC_{1}$: $DC_{1} = \frac{8 \cdot MB}{6} = \frac{8 \cdot 6}{6} = 8$.
Так как длина ребра $DC = 8$, точка $C_{1}$ совпадает с вершиной $C$. Таким образом, плоскость сечения проходит через точку $C$, что и требовалось доказать.
б) 5) В прямоугольном треугольнике $MBC$ по теореме Пифагора находим гипотенузу $MC$: $MC = \sqrt{MB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$.
6) Вычислим высоту пирамиды $SO$. В квадрате $ABCD$ диагональ $BD = 8\sqrt{2}$, значит, $OB = 4\sqrt{2}$.
Из треугольника $SOB$: $SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} = \sqrt{7^{2} - (4\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{49 - 32} = \sqrt{17}$.
7) Используя коэффициент подобия из шага 3, найдем высоту сечения $KH$: $\frac{KH}{SO} = \frac{BK}{SB} = \frac{6}{7}$, откуда $KH = \frac{6}{7} \sqrt{17}$.
8) Сечением является треугольник $MKC$. Его площадь равна: $S_{MKC} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot KH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{6}{7} \sqrt{17} = \frac{30}{7} \sqrt{17}$.

Ответ: б) $\frac{30}{7} \sqrt{17}$

Источник: ФИПИ