Задание №15 — Объемы

Решение:


а) По условию в основании лежит параллелограмм $ABCD$, где угол $\angle A = 60^{\circ}$. Сечение $AMKN$ представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями $AN = 2$ и $MK = 1$. Объем данной призмы равен $5$.
1) Поскольку $AMKN$ — равнобедренная трапеция, её основания параллельны, то есть $AN \parallel MK$. Так как $AN$ лежит в плоскости нижнего основания, то и $MK \parallel (ABCD)$. Спроектируем отрезок $MK$ на плоскость $ABCD$, получим $M_1 K_1 = MK = 1$.
2) Рассмотрим треугольники $M_1 BK_1$ и $ABN$. У них угол $\angle B$ общий, а $\angle KM_1 B = \angle NAB$ как соответственные при параллельных прямых. Следовательно, $\triangle M_1 BK_1 \sim \triangle ABN$ по двум углам.
Из подобия имеем: $\frac{M_1 B}{AB} = \frac{M_1 K_1}{AN} = \frac{1}{2}$. Отсюда следует, что $M_1 B = \frac{1}{2} AB$, то есть $M_1$ является серединой ребра $AB$. Соответственно, точка $M$ — середина ребра $A_1 B_1$, что и требовалось доказать.
б) 3) Воспользуемся равенством боковых сторон трапеции $AM = KN$.
Применяя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $AA_1 M$ и $KK_1 N$:
$AM^2 = AA_1^2 + A_1 M^2$
$KN^2 = KK_1^2 + K_1 N^2$
Учитывая, что высоты $AA_1$ и $KK_1$ равны, получаем равенство проекций: $A_1 M = K_1 N$.
4) Согласно условию деления ребра, $B_1 K : KC_1 = 2 : 3$.
Тогда $B_1 K = BK_1 = K_1 N$.
Обозначим $BK_1 = 2x$, тогда $K_1 C = 3x$, а вся сторона $BC = 5x$.
Так как $BK_1 = K_1 N = 2x$, то отрезок $NC = BC - BK_1 - K_1 N = 5x - 2x - 2x = x$.
5) Проанализируем геометрию треугольника $ABN$:

Поскольку $\triangle ABN$ равнобедренный ($AB=BN$), высота $BH$ также является медианой, значит $HN = AH = 1$.
В треугольнике $BHN$: $BN = \frac{HN}{\cos 30^{\circ}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Так как $BN = BK_1 + K_1 N = 4x$, находим $x$: $4x = \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$.
Тогда стороны параллелограмма: $BC = 5x = \frac{5}{2 \sqrt{3}}$ и $AB = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Вычислим площадь основания: $S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{5}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{2 \sqrt{3}}$.
Используя формулу объема $V = S_{осн} \cdot h$:
$5 = \frac{5}{2 \sqrt{3}} \cdot h \Rightarrow h = 2 \sqrt{3}$.

Ответ: б) $2 \sqrt{3}$

Источник: ФИПИ