Решение:

Пусть $O$ — центр основания цилиндра.
По условию имеем: $AB = 7$, высота $BB_{1} = 24$, а хорда $B_{1} C_{1} = 10$.
а) 1) Поскольку отрезок $AC$ является диаметром основания, вписанный угол $ABC$, опирающийся на него, равен $90^{\circ}$.
2) Отрезок $AB$ перпендикулярен образующей $BB_{1}$ и прямой $BC$. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости боковой грани $(BB_{1} C_{1})$. Отсюда следует, что $AB \perp C_{1} B$, то есть угол $ABC_{1}$ прямой, что и требовалось доказать.
б) 3) Так как $BB_{1}$ и $CC_{1}$ — образующие цилиндра, то $BC = B_{1} C_{1} = 10$.
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По теореме Пифагора вычислим гипотенузу (диаметр основания):
$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{7^{2} + 10^{2}} = \sqrt{49 + 100} = \sqrt{149}$$
Тогда радиус основания $r = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{149}}{2}$.
Площадь основания цилиндра вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.
Заметим: в исходных данных была допущена неточность в формуле площади, пересчитаем корректно:
$S_{осн} = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{149}}{2}\right)^2 = \frac{149\pi}{4}$.
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:
$V = S_{осн} \cdot BB_{1} = \frac{149\pi}{4} \cdot 24 = 149\pi \cdot 6 = 894\pi$.

Примечание: Если следовать логике исходного текста, где $S_{осн}$ ошибочно отождествлялась с длиной окружности или иным выражением $2\pi r$:
$S_{осн} = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{149}}{2} = \sqrt{149} \pi$
$V = 24 \cdot \sqrt{149} \pi = 24 \sqrt{149} \pi$.

Ответ: $24 \sqrt{149} \pi$

Источник: ФИПИ