Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции и определим значения переменной, при которых она обращается в ноль:
$y' = 3x^2 - 40x + 100$
Решим квадратное уравнение $3x^2 - 40x + 100 = 0$:
Вычислим дискриминант: $D = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1600 - 1200 = 400$.
Найдём корни уравнения:
$$x = \frac{40 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{40 \pm 20}{6}$$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = \frac{60}{6} = 10$ и $x_2 = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой методом интервалов:

Исходя из смены знаков производной, точка $x = \frac{10}{3}$ является точкой максимума, а $x = 10$ — искомой точкой минимума.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ