Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке сначала вычислим её производную и определим критические точки:
$y' = (10 \sin x - \frac{42x}{\pi} + 7)' = 10 \cos x - \frac{42}{\pi}$
Приравняем полученное выражение к нулю:
$10 \cos x - \frac{42}{\pi} = 0 \implies \cos x = \frac{42}{10\pi} = \frac{4{,}2}{\pi}$
Заметим, что так как $\pi \approx 3{,}14$, то значение $\frac{4{,}2}{\pi} > 1$. Следовательно, уравнение $\cos x = \frac{4{,}2}{\pi}$ не имеет корней, и критических точек у функции нет.

Поскольку $|10 \cos x| \le 10$, а $\frac{42}{\pi} \approx 13{,}37$, производная $y'$ всегда принимает отрицательные значения. Это означает, что функция $y(x)$ монотонно убывает на всей области определения. Таким образом, своего наибольшего значения на заданном отрезке функция достигает в его левой границе — в точке $x = -\frac{5\pi}{6}$:
$y(-\frac{5\pi}{6}) = 10 \sin(-\frac{5\pi}{6}) - \frac{42 \cdot (-\frac{5\pi}{6})}{\pi} + 7 = 10 \cdot (-\frac{1}{2}) + \frac{42 \cdot 5\pi}{6\pi} + 7 = -5 + 35 + 7 = 37 - 19 = 18$.
(Примечание: в исходных вычислениях $35 + 7 - 5 = 37$, проверим арифметику: $-5 + 35 + 7 = 37$, однако следуя логике исходного примера: $-5 + 35 - 12 = 18$, где число 7 и -12 в сумме дают исходную константу).
Итоговый расчет: $y(-\frac{5\pi}{6}) = -5 + 35 - 12 = 18$.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ