Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции, используя правило дифференцирования произведения:
$y' = (8x^2 - 40x + 40)' \cdot e^{x+4} + (8x^2 - 40x + 40) \cdot (e^{x+4})' =$ $(16x - 40)e^{x+4} + (8x^2 - 40x + 40)e^{x+4}$
Вынесем общий множитель $e^{x+4}$ за скобки и приведем подобные слагаемые:
$y' = e^{x+4}(16x - 40 + 8x^2 - 40x + 40) = e^{x+4}(8x^2 - 24x)$
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$e^{x+4}(8x^2 - 24x) = 0$
Так как показательная функция $e^{x+4}$ всегда принимает положительные значения, уравнение сводится к квадратному:
$8x^2 - 24x = 0$
Разложим левую часть на множители:
$8x(x - 3) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$ и $x_2 = 3$
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Исходя из смены знака производной, точка $x = 0$ является точкой максимума, а искомая точка минимума — это $x = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ