Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции и определим значения переменной, при которых она обращается в нуль:
$y' = 9 - 9 \cdot \frac{(x - 2)^8}{(x - 2)^9}$
Решим уравнение $y' = 0$:
$9 - 9 \cdot \frac{(x - 2)^8}{(x - 2)^9} = 0$
Приведя к общему знаменателю, получим:
$9(x - 2)^9 - 9(x - 2)^8 = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$9(x - 2)^8 \cdot (x - 2 - 1) = 0$
$(x - 2)^8 \cdot (x - 3) = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 2$ (корень кратности 8, при переходе через него знак производной не меняется)
$x_2 = 3$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Исходя из схемы знаков, точка $x = 3$ является точкой минимума функции, так как в ней производная меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ