Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для поиска экстремумов и исследования поведения функции вычислим её производную:
$y' = (3 \cos x - 5x + 5)' = -3 \sin x - 5$.
Далее определим критические точки, приравняв производную к нулю:
$-3 \sin x - 5 = 0 \implies \sin x = -\frac{5}{3}$.
Поскольку значение $\sin x$ по модулю не может превышать $1$, данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, критических точек у функции нет.
Заметим, что выражение $-3 \sin x - 5$ всегда принимает отрицательные значения, так как максимальное значение $-3 \sin x$ равно $3$, что меньше $5$. Раз $y' < 0$ на всей области определения, функция $y(x)$ монотонно убывает.
Таким образом, на заданном отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$ своего наименьшего значения функция достигает в правой границе интервала, то есть при $x = 0$:
$y(0) = 3 \cos 0 - 5 \cdot 0 + 5 = 3 \cdot 1 - 0 + 5 = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ