Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции и определим значения аргумента, при которых она обращается в нуль:
$y' = (9x - 9\ln(x + 3) + 11)' = 9 - \frac{9}{x + 3}$
Приравняем полученное выражение к нулю: $9 - \frac{9}{x + 3} = 0$.
Разделим уравнение на 9 и приведем к общему знаменателю:
$1 - \frac{1}{x + 3} = 0$
$\frac{x + 3 - 1}{x + 3} = 0$
$\frac{x + 2}{x + 3} = 0$
Откуда получаем критическую точку $x = -2$. Заметим, что по условию существования логарифма $x > -3$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой с помощью метода интервалов:

Видим, что при переходе через значение $x = -2$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, данная точка является точкой минимума функции.

Ответ: -2

Источник: ФИПИ