Решение:
Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке сначала вычислим её производную и определим критические точки:
$y' = (10 \sin x - \frac{36}{\pi}x + 7)' = 10 \cos x - \frac{36}{\pi}$
Приравняем полученное выражение к нулю: $10 \cos x - \frac{36}{\pi} = 0$. Отсюда получаем, что $\cos x = \frac{36}{10\pi} = \frac{3,6}{\pi}$.
Заметим, что так как $\pi \approx 3,14$, то значение $\frac{3,6}{\pi} > 1$. Следовательно, уравнение $\cos x = \frac{3,6}{\pi}$ не имеет решений, и критических точек у функции нет.
Поскольку $\cos x \le 1$, выражение $10 \cos x$ всегда меньше $\frac{36}{\pi} \approx 11,46$. Это означает, что производная $y'$ отрицательна при любых значениях $x$. Таким образом, функция $y(x)$ монотонно убывает на всей области определения.
Так как функция убывает, своего наибольшего значения на отрезке $[-\frac{5\pi}{6}; 0]$ она достигает в левой границе указанного промежутка:
$y(-\frac{5\pi}{6}) = 10 \sin(-\frac{5\pi}{6}) - \frac{36}{\pi} \cdot (-\frac{5\pi}{6}) + 7 = 10 \cdot (-\frac{1}{2}) + \frac{36 \cdot 5\pi}{6\pi} + 7 = -5 + 30 + 7 = 32.$

Ответ: 32

Источник: ФИПИ