Решение:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим точки, в которых она обращается в нуль:
$y' = -10 \sin x + \frac{36}{\pi}$
Решим уравнение $y' = 0$:
$$-10 \sin x + \frac{36}{\pi} = 0 \implies \sin x = \frac{36}{10\pi} = \frac{3{,}6}{\pi}$$ Заметим, что так как $\pi \approx 3{,}14$, то значение $\frac{3{,}6}{\pi} > 1$. Следовательно, уравнение не имеет корней, и критических точек у функции нет.
Поскольку производная $y'$ принимает только положительные значения при любых $x$, заданная функция является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что своего наименьшего значения на отрезке $[-\frac{2\pi}{3}; 0]$ функция достигает в левом конце указанного промежутка.
Вычислим значение функции в точке $x = -\frac{2\pi}{3}$:
$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 10 \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{36 \cdot \left(-\frac{2\pi}{3}\right)}{\pi} - 6 = 10 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 24 - 6 = -5 - 24 - 6 = -35.$

Ответ: -35

Источник: ФИПИ