Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим критические точки:
$y' = (2 \cos x + 5x + 7)' = -2 \sin x + 5$.
Приравняем полученное выражение к нулю:
$-2 \sin x + 5 = 0$, откуда следует, что $\sin x = 2{,}5$.
Поскольку область значений синуса ограничена отрезком $[-1; 1]$, уравнение $\sin x = 2{,}5$ не имеет решений.

Заметим, что производная $y' = 5 - 2 \sin x$ всегда принимает положительные значения, так как максимальное значение $2 \sin x$ равно $2$. Следовательно, исходная функция $y$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Это означает, что на заданном отрезке своего наименьшего значения функция достигает в левом конце интервала, то есть при $x = 0$:
$$y(0) = 2 \cos 0 + 5 \cdot 0 + 7 = 2 \cdot 1 + 0 + 7 = 9.$$

Ответ: 9

Источник: ФИПИ