Разбор решения:
Для нахождения критических точек вычислим производную заданной функции и определим значения аргумента, при которых она обращается в нуль:
$y' = (x^3 - 18x^2 + 81x + 23)' = 3x^2 - 36x + 81$
Решим уравнение $3x^2 - 36x + 81 = 0$. Разделив все коэффициенты на $3$, получим: $x^2 - 12x + 27 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = (-36)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 81 = 1296 - 972 = 324 = 18^2$

Находим корни квадратного уравнения:
$x = \frac{36 \pm 18}{6}$, откуда получаем два значения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 9$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

При переходе через точку $x = 3$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. В точке $x = 9$ знак меняется с минуса на плюс, следовательно, это искомая точка минимума.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ