Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения экстремумов и исследования поведения функции вычислим её производную:
$y' = (10 \cos x - 14x + 5)' = -10 \sin x - 14$.
Приравняем полученное выражение к нулю, чтобы найти критические точки:
$-10 \sin x - 14 = 0 \implies \sin x = -1{,}4$.
Так как область значений функции синус — отрезок $[-1; 1]$, уравнение $\sin x = -1{,}4$ не имеет решений. Следовательно, критических точек у функции нет.

Заметим, что производная $y' = -10 \sin x - 14$ всегда принимает отрицательные значения, так как максимальное значение $-10 \sin x$ равно $10$, и $10 - 14 = -4 < 0$. Из этого следует, что функция $y$ постоянно убывает на всей области определения. Значит, своего наименьшего значения на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; 0]$ функция достигает в правой границе указанного интервала, то есть при $x = 0$:
$y(0) = 10 \cos 0 - 14 \cdot 0 + 5 = 10 \cdot 1 - 0 + 5 = 15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ