Решение:
Для нахождения экстремумов и исследования поведения функции вычислим её производную:
$y' = (10 \cos x + 14x + 9)' = -10 \sin x + 14$.
Приравняем полученное выражение к нулю, чтобы найти критические точки:
$-10 \sin x + 14 = 0 \implies \sin x = \frac{14}{10} = 1{,}4$.
Поскольку область значений синуса ограничена отрезком $[-1; 1]$, уравнение $\sin x = 1{,}4$ не имеет решений. Следовательно, критических точек у функции нет.

Заметим, что так как $\sin x \le 1$, то выражение $-10 \sin x$ не может быть меньше $-10$. Значит, производная $y' = -10 \sin x + 14$ всегда принимает положительные значения (минимум $y' = 4$). Это говорит о том, что функция $y$ строго возрастает на всей числовой прямой. Таким образом, на заданном отрезке своего наименьшего значения функция достигает в левой границе, то есть при $x = 0$:
$y(0) = 10 \cos 0 + 14 \cdot 0 + 9 = 10 \cdot 1 + 0 + 9 = 19$.

Ответ: 19

Источник: ФИПИ