Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13.

а)  Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б)  Найдите площадь трапеции.

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую $CC_{1}$ , параллельную диагонали $BD$ , до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $C_{1}$ .
Поскольку основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, а по построению $CC_{1} \parallel BD$ , то четырёхугольник $BCC_{1}D$ является параллелограммом.
Из свойств параллелограмма следует, что $BC = DC_{1}$ и $CC_{1} = BD = 5$ .
Проанализируем стороны треугольника $ACC_{1}$ :
Длина $AC = 12$ , длина $CC_{1} = 5$ .
Основание $AC_{1}$ складывается из отрезков $AD$ и $DC_{1}$ , то есть $AC_{1} = AD + BC = 13$ .
Проверим выполнение равенства Пифагора для сторон этого треугольника:
$AC^{2} + CC_{1}^{2} = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 = (AC_{1})^{2}$
Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ACC_{1}$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ( $\angle ACC_{1} = 90^{\circ}$ ).
Так как $CC_{1} \parallel BD$ , угол между диагоналями трапеции равен углу $ACC_{1}$ , следовательно, диагонали перпендикулярны: $\angle COD = 90^{\circ}$ . Что и требовалось доказать.

б) Площадь трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, можно вычислить как половину произведения её диагоналей:
$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30.$

Ответ: 30

Источник: ФИПИ