Решение:

а) Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую $CC_{1}$, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $C_{1}$.
Поскольку основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, а по построению $CC_{1} \parallel BD$, то четырёхугольник $BCC_{1}D$ является параллелограммом.
Из свойств параллелограмма следует, что $BC = DC_{1}$ и $CC_{1} = BD = 5$.
Проанализируем стороны треугольника $ACC_{1}$:
Длина $AC = 12$, длина $CC_{1} = 5$.
Основание $AC_{1}$ складывается из отрезков $AD$ и $DC_{1}$, то есть $AC_{1} = AD + BC = 13$.
Проверим выполнение равенства Пифагора для сторон этого треугольника:
$$AC^{2} + CC_{1}^{2} = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 = (AC_{1})^{2}$$
Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ACC_{1}$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACC_{1} = 90^{\circ}$).
Так как $CC_{1} \parallel BD$, угол между диагоналями трапеции равен углу $ACC_{1}$, следовательно, диагонали перпендикулярны: $\angle COD = 90^{\circ}$. Что и требовалось доказать.

б) Площадь трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, можно вычислить как половину произведения её диагоналей:
$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30.$

Ответ: 30

Источник: ФИПИ