Решение:
а) Да, такая ситуация возможна. Предположим, на доске изначально было 10 чисел «11» и 10 чисел «12».
Вычислим исходное среднее арифметическое:
$$\bar{x}_1 = \frac{10 \cdot 11 + 10 \cdot 12}{20} = \frac{110 + 120}{20} = 11{,}5.$$
После того как все числа «11» уменьшили на единицу, они превратились в «10» и, согласно условию, были удалены. Остались только 10 чисел «12». Новое среднее арифметическое составит:
$$\bar{x}_2 = \frac{10 \cdot 12}{10} = 12.$$
Поскольку $12 > 11{,}5$, среднее арифметическое действительно выросло.
б) Допустим, среди исходных 20 чисел было $n$ единиц, равных 11. Тогда их общая сумма составляет $11n$. Обозначим сумму остальных $(20 - n)$ чисел через $S_{ост}$.
По условию, среднее арифметическое всех чисел равно 37:
$$\frac{11n + S_{ост}}{20} = 37 \Rightarrow 11n + S_{ост} = 740.$$
После уменьшения чисел «11» на единицу они становятся равными 10 и стираются. Количество оставшихся чисел равно $20 - n$, а их среднее арифметическое стало 44:
$$\frac{S_{ост}}{20 - n} = 44 \Rightarrow S_{ост} = 44(20 - n).$$
Подставим выражение для $S_{ост}$ в первое уравнение:
$$11n + 44(20 - n) = 740$$
$$11n + 880 - 44n = 740$$
$$-33n = -140$$
$$n = \frac{140}{33} = 4\frac{8}{33}.$$
Так как количество чисел $n$ должно быть целым, мы пришли к противоречию. Значит, такая ситуация невозможна.
в) Для максимизации итогового среднего арифметического нужно, чтобы количество удаляемых чисел (равных 11) было минимально возможным, а оставшиеся числа были максимально велики (не более 50).
Пусть $n$ — количество чисел «11», а $S_{ост}$ — сумма остальных $20 - n$ чисел. Каждое из этих оставшихся чисел не превышает 50.
Из условия: $\frac{11n + S_{ост}}{20} = 37$, откуда $S_{ост} = 740 - 11n$.
С другой стороны, так как каждое из $20 - n$ чисел не больше 50, имеем:
$$S_{ост} \le 50(20 - n)$$
$$740 - 11n \le 1000 - 50n$$
$$39n \le 260$$
$$n \le \frac{260}{39} \approx 6{,}66.$$
Чтобы итоговое среднее $\bar{x}_2 = \frac{S_{ост}}{20 - n} = \frac{740 - 11n}{20 - n}$ было максимальным, нужно проверить наибольшие возможные значения $n$.
Если $n = 6$, то $S_{ост} = 740 - 66 = 674$.
Проверим, может ли сумма 14 чисел быть равна 674, если каждое не более 50: $14 \cdot 50 = 700$. Да, это возможно (например, тринадцать чисел по 50 и одно число 24).
Тогда новое среднее арифметическое:
$$\bar{x}_2 = \frac{674}{14} = \frac{337}{7} = 48\frac{1}{7}.$$
При меньших $n$ значение дроби $\frac{740 - 11n}{20 - n} = 11 + \frac{520}{20 - n}$ будет меньше, так как знаменатель увеличивается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $48\frac{1}{7}$.

Источник: ФИПИ