Задание №15 — Показательные неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\frac{0{,}25^{x} - 4}{16^{x} - 4^{x + 2} + 64} \leq 0$.
Для начала определим область допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в ноль:
$16^{x} - 4^{x + 2} + 64 \neq 0$
Представим все слагаемые как степени с основанием $4$:
$(4^2)^{x} - 4^x \cdot 4^2 + 64 \neq 0$
$4^{2x} - 16 \cdot 4^x + 64 \neq 0$
Заметим здесь формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(4^x - 8)^2 \neq 0$
Следовательно, $4^x \neq 8$. Перейдем к основанию $2$:
$2^{2x} \neq 2^3$
Откуда получаем ограничение: $2x \neq 3$, то есть $x \neq 1{,}5$.

Поскольку знаменатель $(4^x - 8)^2$ всегда положителен при $x \neq 1{,}5$, знак всей дроби зависит только от числителя. Неравенство сводится к следующему:
$0{,}25^x - 4 \leq 0$
Перепишем $0{,}25$ как $\frac{1}{4}$ или $4^{-1}$:
$(4^{-1})^x \leq 4^1$
$4^{-x} \leq 4^1$
Так как основание степени $4 > 1$, функция возрастает, и мы переходим к сравнению показателей:
$-x \leq 1$
$x \geq -1$.

Теперь объединим полученное условие с найденным ранее ограничением для знаменателя:

Ответ: $[-1; 1{,}5) \cup (1{,}5; +\infty)$

Источник: ФИПИ