Задание №15 — Объемы

Решение:

а) Исходя из условия, что $AKLM$ является равнобедренной трапецией, мы имеем параллельность оснований: $AM \parallel LK$ и боковых сторон $ML \parallel AK$.
Проанализируем подобие треугольников $\triangle AA_{1} M$ и $\triangle LCK$:
Благодаря параллельности $AM$ и $LK$, углы $\angle A_{1} MA$ и $\angle LKC$, а также $\angle A_{1} AM$ и $\angle KLC$ равны как накрест лежащие. Следовательно, $\triangle AA_{1} M \sim \triangle LCK$ по первому признаку подобия (по двум углам).
Из подобия вытекает отношение сторон: $$\frac{AA_{1}}{LC} = \frac{A_{1} M}{CK} = \frac{AM}{LK}$$ Подставим известные значения: $\frac{AA_{1}}{LC} = \frac{\frac{1}{2} DC}{\frac{1}{4} DC} = \frac{2}{1}$.
Отсюда следует, что $LC = \frac{1}{2} AA_{1}$. Поскольку в правильной призме $AA_{1} = CC_{1}$, получаем $LC = \frac{1}{2} CC_{1}$, что означает, что точка $L$ делит ребро $CC_{1}$ пополам ($CL = LC_{1}$). Утверждение доказано.
б) Объем данной призмы вычисляется по формуле $V_{ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}} = AA_{1} \cdot AB \cdot AD$.
По условию $DK = 3 KC$, значит отрезок $KC$ составляет четверть ребра основания: $KC = \frac{1}{4} DC$.
Обозначим сторону основания $AD$ через $a$. Так как призма правильная, все стороны основания равны: $AB = BC = CD = AD = a$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle AKD$:
Катеты равны $AD = a$ и $DK = \frac{3}{4} a$. Воспользуемся теоремой Пифагора: $$AK^{2} = AD^{2} + DK^{2} = a^{2} + \left(\frac{3}{4} a\right)^{2} = a^{2} + \frac{9}{16} a^{2} = \frac{25}{16} a^{2}$$ Таким образом, $AK = \frac{5}{4} a$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MB_{1} C_{1}$:
Здесь $B_{1} C_{1} = a$, а $MB_{1} = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора находим гипотенузу: $MC_{1}^{2} = a^{2} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{5 a^{2}}{4}$, откуда $MC_{1} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$.
Перейдем к треугольнику $\triangle MC_{1} L$:
Так как $L$ — середина $CC_{1}$ и высота призмы $CC_{1} = 5$, то $C_{1} L = 2,5$. Учитывая, что $\angle MC_{1} L = 90^\circ$, по теореме Пифагора: $$ML^{2} = MC_{1}^{2} + C_{1} L^{2} = \frac{5 a^{2}}{4} + \left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{5 a^{2} + 25}{4}$$
Поскольку трапеция $AMLK$ равнобедренная, её боковые стороны равны: $ML = AK$.
Приравняем квадраты этих сторон: $$\frac{5 a^{2} + 25}{4} = \frac{25}{16} a^{2}$$ Умножим обе части уравнения на 16:
$4(5 a^{2} + 25) = 25 a^{2}$
$20 a^{2} + 100 = 25 a^{2}$
$5 a^{2} = 100 \Rightarrow a^{2} = 20 \Rightarrow a = 2 \sqrt{5}$.
Вычисляем итоговый объем призмы: $V = 5 \cdot 2 \sqrt{5} \cdot 2 \sqrt{5} = 5 \cdot 4 \cdot 5 = 100$.

Ответ: б) 100

Источник: ФИПИ