Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Исходное уравнение: $2 \cos ^{3} x - 2 \cos x + \sin ^{2} x = 0$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:
$2 \cos ^{3} x - 2 \cos x + 1 - \cos ^{2} x = 0$.
Сгруппируем слагаемые для вынесения общего множителя:
$2 \cos x (\cos^2 x - 1) - (\cos^2 x - 1) = 0$.
Вынесем скобку $(\cos^2 x - 1)$ за скобки:
$(2 \cos x - 1)(\cos^2 x - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $2 \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$, откуда $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos^2 x - 1 = 0 \Rightarrow \cos^2 x = 1$, что означает $\cos x = \pm 1$.
Решениями этого уравнения являются точки $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$, которые можно записать как:
$\left[\begin{matrix} x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[\frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке получаем следующие значения:
$x_{1} = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5 \pi}{3}$
$x_{2} = 2\pi$
$x_{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7 \pi}{3}$
$x_{4} = 3\pi$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$; $\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5 \pi}{3}; 2\pi; \frac{7 \pi}{3}; 3\pi$

Источник: ФИПИ