Решение:
а) Да, такая ситуация возможна. Представим, что изначально на доске было 10 шестёрок и 10 семёрок.
Тогда исходное среднее арифметическое составит:
$S_{1} = \frac{10 \cdot 6 + 10 \cdot 7}{20} = \frac{130}{20} = 6{,}5.$
Если мы уменьшим все шестёрки на 1, они превратятся в пятёрки и, согласно условию, будут удалены. Останутся только 10 семёрок. Новое среднее арифметическое будет равно:
$S_{2} = \frac{10 \cdot 7}{10} = 7.$
Очевидно, что $7 > 6{,}5$, то есть среднее значение увеличилось.
б) Предположим, что на доске было $n$ чисел, равных 6. Тогда их суммарное значение равно $6n$. Обозначим сумму остальных $(19 - n)$ чисел через $B$, а последнее, двадцатое число, как $a$.
Исходя из условия, среднее арифметическое всех чисел равно 32:
$\frac{6n + B + a}{20} = 32 \Rightarrow 6n + B + a = 640.$
После того как шестёрки уменьшили на 1 и стерли, на доске осталось $(20 - n)$ чисел, а их среднее стало равно 39:
$\frac{B + a}{20 - n} = 39 \Rightarrow B + a = 39(20 - n).$
Подставим выражение для $(B + a)$ в первое уравнение:
$6n + 39(20 - n) = 640$
$6n + 780 - 39n = 640$
$33n = 140$
$n = \frac{140}{33} = 4\frac{8}{33}.$
Так как количество чисел $n$ должно быть целым, мы пришли к противоречию. Значит, такая ситуация невозможна.
в) Для максимизации итогового среднего арифметического нужно, чтобы количество удаляемых шестёрок $n$ было как можно меньше, а оставшиеся числа — как можно больше (максимальное значение 45).
Запишем уравнение для среднего арифметического исходного набора, где $n$ — количество шестёрок, $a$ — некоторое число из набора, а остальные $(19 - n)$ чисел равны 45:
$\frac{6n + (19 - n) \cdot 45 + a}{20} = 32$
$6n + 855 - 45n + a = 640$
$39n = 215 + a.$
Чтобы $n$ было минимальным целым числом, подберем подходящее $a$ (учитывая, что $a \le 45$ и $a > 5$). При $a = 19$ получаем:
$39n = 215 + 19 = 234 \Rightarrow n = 6.$
Таким образом, в наборе было 6 шестёрок, 13 чисел по 45 и одно число 19. Проверим среднее:
$S_{1} = \frac{6 \cdot 6 + 13 \cdot 45 + 19}{20} = \frac{36 + 585 + 19}{20} = \frac{640}{20} = 32.$
После удаления шестёрок на доске останется $20 - 6 = 14$ чисел. Новое среднее арифметическое составит:
$S_{2} = \frac{13 \cdot 45 + 19}{14} = \frac{585 + 19}{14} = \frac{604}{14} = \frac{302}{7} = 43 \frac{1}{7}.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $43 \frac{1}{7}$

Источник: ФИПИ