Решение:
Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$\sqrt{x + a} \cdot \ln (x - 3a) - (x - 1) \ln (x - 3a) = 0$
$\ln (x - 3a) \cdot (\sqrt{x + a} - (x - 1)) = 0$
Уравнение распадается на два случая. С учетом того, что нас интересуют только корни на промежутке $x \in [0; 1]$, составим совокупность систем:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \ln(x - 3a) = 0 \\ x + a \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x + a} = x - 1 \\ x - 3a > 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Преобразуем каждое условие:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x - 3a = 1 \\ x \geq -a \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x + a = (x - 1)^2 \\ x - 1 \geq 0 \\ x > 3a \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Для первой системы выразим $x$ и подставим в ограничения:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x = 3a + 1 \\ 3a + 1 \geq -a \\ 0 \leq 3a + 1 \leq 1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x + a = (x - 1)^2 \\ x \geq 1 \\ x > 3a \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Упростим неравенства для параметра $a$:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x = 3a + 1 \\ a \geq -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{3} \leq a \leq 0 \end{matrix}\right. & (1) \\ \left\{\begin{matrix} x + a = (x - 1)^2 \\ x = 1 \\ 1 > 3a \end{matrix}\right. & (2) \end{matrix}\right.$
Исследуем первую ветку (1):
$\left\{\begin{matrix} x = 3a + 1 \\ a \in [-\frac{1}{4}; 0] \end{matrix}\right.$
Таким образом, значение $x = 3a + 1$ является корнем и попадает в заданный отрезок $[0; 1]$ при $a \in [-\frac{1}{4}; 0]$.
Исследуем вторую ветку (2):
Так как $x$ должен одновременно удовлетворять условиям $x \geq 1$ и $0 \leq x \leq 1$, то возможен только вариант $x = 1$.
Подставляя $x = 1$ в уравнение $x + a = (x - 1)^2$, находим:
$1 + a = (1 - 1)^2 \Rightarrow a = -1$.
Проверим условие логарифма: $1 > 3 \cdot (-1)$, что верно ($1 > -3$). Значит, $a = -1$ подходит.
Проверим, могут ли корни из разных веток совпасть:
Если $x = 1$ и $x = 3a + 1$, то $1 = 3a + 1$, откуда $a = 0$.
При $a = 0$ корень $x = 1$ уже включен в первый промежуток, противоречий нет.

Ответ: $\{-1\} \cup [-\frac{1}{4}; 0]$

Источник: ФИПИ