Задание №18 — Окружности и треугольники

Решение:

а) Рассмотрим вписанные углы, опирающиеся на общие дуги. Углы $BAM$ и $BCM$ опираются на дугу $BM$, следовательно, $\angle BAM = \angle BCM$. Аналогично, углы $MAC$ и $MBC$ опираются на дугу $MC$, значит, $\angle MAC = \angle MBC$.
Поскольку $AM$ является биссектрисой угла $A$, выполняется равенство $\angle BAM = \angle MAC$. Из этого следует, что $\angle MBC = \angle MCB$. Таким образом, в треугольнике $BMC$ углы при основании равны, а значит, $MB = MC$. Что и требовалось доказать.
б) Воспользуемся свойством биссектрисы в треугольнике $ABC$:
$$\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC} \Rightarrow \frac{BK}{KC} = \frac{9}{3} = 3.$$ Учитывая, что длина стороны $BC = 8$ и $BC = BK + KC$, получаем систему уравнений, из которой находим: $BK = 6$ и $KC = 2$.
Заметим, что вписанные углы $ABC$ и $AMC$ опираются на одну и ту же дугу $AC$, поэтому $\angle ABC = \angle AMC$.
Применим теорему косинусов для треугольника $ABC$, чтобы найти косинус угла при вершине $B$:
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$
$3^2 = 9^2 + 8^2 - 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cos \angle ABC$
$9 = 81 + 64 - 144 \cdot \cos \angle ABC$
$\cos \angle ABC = \frac{136}{144} = \frac{17}{18}$.
Вычислим значение синуса этого угла через основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2 \angle ABC = 1 - \cos^2 \angle ABC = 1 - \left(\frac{17}{18}\right)^2 = 1 - \frac{289}{324} = \frac{35}{324}$.
Отсюда $\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{35}}{18}$. Как было отмечено ранее, $\sin \angle AMC = \sin \angle ABC = \frac{\sqrt{35}}{18}$.
Рассмотрим треугольник $KMC$. Радиус $R$ описанной около него окружности можно найти по теореме синусов:
$R = \frac{CK}{2 \sin \angle KMC} = \frac{2}{2 \cdot \frac{\sqrt{35}}{18}} = \frac{18}{\sqrt{35}} = \frac{18 \sqrt{35}}{35}$.

Ответ: б) $\frac{18 \sqrt{35}}{35}$

Источник: ФИПИ