Задание №16 — Показательные неравенства

Разбор решения:
Дано неравенство: $\frac{0{,}125^{x} - 64}{16^{x} - 4^{x + 1} + 4} \leq 0$.
Для начала определим область допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в ноль:
$16^{x} - 4^{x + 1} + 4 \neq 0$
Преобразуем выражение, используя свойства степени $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x$:
$(4^x)^2 - 4 \cdot 4^{x} + 4 \neq 0$
Заметим формулу квадрата разности $(a-b)^2$:
$\left(4^{x} - 2\right)^{2} \neq 0$
Следовательно, $4^{x} \neq 2$. Представим обе части как степени двойки:
$2^{2x} \neq 2^{1}$
Отсюда получаем ограничение по переменной: $2x \neq 1$, то есть $x \neq 0{,}5$.

Теперь проанализируем знак дроби. Поскольку знаменатель $\left(4^{x} - 2\right)^{2}$ всегда положителен при $x \neq 0{,}5$, исходное неравенство равносильно условию, что числитель меньше или равен нулю:
$0{,}125^{x} - 64 \leq 0$
Перейдем к основанию $2$, учитывая, что $0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}$ и $64 = 2^6$:
$(2^{-3})^x \leq 2^6$
$2^{-3x} \leq 2^6$
Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$-3x \leq 6$
Разделим на $-3$, меняя знак неравенства:
$x \geq -2$.

Объединим полученное условие с найденным ранее ограничением для знаменателя:

Ответ: $[-2; 0{,}5) \cup (0{,}5; +\infty)$

Источник: ФИПИ