Решение:

а) Исходя из условия, $AKLM$ является равнобедренной трапецией, следовательно, основания $AM$ и $LK$ параллельны, а боковые стороны равны: $ML = AK$.
Проанализируем треугольники $\triangle AA_{1} M$ и $\triangle LCK$:
В силу параллельности $AM \parallel LK$, внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle A_{1} MA = \angle LKC$ и $\angle A_{1} AM = \angle KLC$. Из этого следует подобие треугольников $\triangle AA_{1} M \sim \triangle LCK$ по первому признаку (по двум углам).
Запишем отношение соответственных сторон: $$\frac{AA_{1}}{LC} = \frac{A_{1} M}{CK} = \frac{AM}{LK}$$ Учитывая положение точек, имеем: $$\frac{AA_{1}}{LC} = \frac{\frac{1}{2} DC}{\frac{1}{3} DC} = \frac{3}{2}$$
Отсюда выразим длину отрезка $LC$: $LC = \frac{2}{3} AA_{1}$. Поскольку $AA_{1} = CC_{1}$, получаем $LC = \frac{2}{3} CC_{1}$.
Тогда на оставшуюся часть ребра приходится $C_{1} L = CC_{1} - LC = \frac{1}{3} CC_{1}$.
Следовательно, $CL = 2 LC_{1}$, что и требовалось доказать.
б) Объем данной правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле: $V = AA_{1} \cdot AB \cdot AD$.
По условию $DK = 2 KC$, значит, точка $K$ делит ребро $DC$ так, что $KC = \frac{1}{3} DC$.
Пусть сторона основания призмы $AD = a$. Тогда, в силу правильности фигуры, $AB = BC = CD = AD = a$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle AKD$ по теореме Пифагора находим квадрат гипотенузы $AK$:
$AK^{2} = AD^{2} + DK^{2} = a^{2} + \left(\frac{2}{3} a\right)^{2} = a^{2} + \frac{4}{9} a^{2} = \frac{13}{9} a^{2}$. Таким образом, $AK = \frac{a\sqrt{13}}{3}$.
Теперь рассмотрим $\triangle MB_{1} C_{1}$ в верхней плоскости:
$B_{1} C_{1} = a$, а $MB_{1} = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора: $MC_{1}^{2} = a^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2} = \frac{5 a^{2}}{4}$, откуда $MC_{1} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$.
Далее обратимся к треугольнику $\triangle MC_{1} L$. Известно, что $CC_{1} = 7$, тогда $C_{1} L = \frac{1}{3} \cdot 7 = \frac{7}{3}$.
Так как $\angle MC_{1} L = 90^{\circ}$, по теореме Пифагора имеем:
$ML^{2} = MC_{1}^{2} + C_{1} L^{2} = \frac{5 a^{2}}{4} + \left(\frac{7}{3}\right)^{2} = \frac{5 a^{2}}{4} + \frac{49}{9} = \frac{45 a^{2} + 196}{36}$.
Поскольку трапеция равнобедренная, приравняем $ML^2$ и $AK^2$:
$$\frac{45 a^{2} + 196}{36} = \frac{13 a^{2}}{9}$$
Умножим обе части уравнения на 36:
$45 a^{2} + 196 = 52 a^{2}$
$7 a^{2} = 196$
$a^{2} = 28 \Rightarrow a = 2 \sqrt{7}$.
Вычисляем искомый объем призмы: $V = 7 \cdot (2 \sqrt{7}) \cdot (2 \sqrt{7}) = 7 \cdot 4 \cdot 7 = 196$.

Ответ: б) 196

Источник: ФИПИ