Решение:
а) Рассмотрим возможность такой ситуации. Предположим, на доске изначально было 19 чисел, равных 11, и одно число 50. Если мы увеличим 50 на единицу, оно превратится в 51 и, согласно условию, будет удалено. В итоге останется 19 чисел.
Вычислим исходное среднее арифметическое:
$$S_{1} = \frac{19 \cdot 11 + 50}{20} = \frac{209 + 50}{20} = 12{,}95.$$
После удаления числа 51 среднее арифметическое оставшихся чисел составит:
$$S_{2} = \frac{19 \cdot 11}{19} = 11.$$
Поскольку $11 < 12{,}95$, условие задачи выполняется. Ответ: да.
б) Допустим, среди исходных 20 чисел было $n$ чисел, равных 50. Обозначим сумму остальных $(20 - n)$ чисел через $X$. По условию, среднее арифметическое всех чисел равно 24:
$$\frac{50n + X}{20} = 24 \Rightarrow 50n + X = 480.$$
После того как каждое из $n$ чисел увеличили на 1, они стали равны 51 и были стерты. Количество оставшихся чисел равно $20 - n$, а их среднее арифметическое стало 17:
$$\frac{X}{20 - n} = 17 \Rightarrow X = 17(20 - n) = 340 - 17n.$$
Подставим выражение для $X$ в первое уравнение:
$$50n + 340 - 17n = 480$$
$$33n = 140$$
$$n = \frac{140}{33} = 4\frac{8}{33}.$$
Так как количество чисел $n$ должно быть целым, такая ситуация невозможна. Ответ: нет.
в) Для минимизации итогового среднего арифметического нужно, чтобы с доски было удалено как можно больше чисел (то есть исходных «50»), а оставшиеся числа были как можно меньше. Минимально возможное натуральное число, большее 10, — это 11.
Пусть $n$ — количество чисел, равных 50, а $a$ — еще одно число из набора (которое не равно 50 и останется на доске). Остальные $(19 - n)$ чисел примем равными 11.
Составим уравнение для среднего арифметического:
$$\frac{50n + 11(19 - n) + a}{20} = 24$$
$$50n + 209 - 11n + a = 480$$
$$39n + a = 271 \Rightarrow n = \frac{271 - a}{39}.$$
Чтобы $n$ было максимальным, значение $a$ должно быть минимально возможным, при этом $a > 10$. Проверим целые значения: если $a = 37$, то $n = \frac{234}{39} = 6$. Если $a$ меньше 37, то целых решений для $n$ больше 6 не будет (так как $39 \cdot 7 = 273 > 271$).
Таким образом, в наборе было шесть «50», тринадцать «11» и одно число «37».
Проверим среднее арифметическое после удаления шести чисел 51:
$$S_{2} = \frac{13 \cdot 11 + 37}{20 - 6} = \frac{143 + 37}{14} = \frac{180}{14} = \frac{90}{7} = 12\frac{6}{7}.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $12\frac{6}{7}$

Источник: ФИПИ