Решение:
Исходное уравнение имеет вид: $\sqrt{x - a} \cdot \ln \left(3 x - a\right) - \ln \left(3 x - a\right) \left(x - 1\right) = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки: $\ln \left(3 x - a\right) \left(\sqrt{x - a} - \left(x - 1\right)\right) = 0$.
Учитывая, что нас интересуют только те корни, которые лежат на промежутке $\left[0 ; 1\right]$, перейдем к совокупности систем с учетом области определения логарифма и квадратного корня:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}\ln ( 3 x - a ) = 0 \\ x - a \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 1\end{matrix} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}\sqrt{x - a} = x - 1 \\ 3 x - a > 0 \\ 0 \leq x \leq 1\end{matrix} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Преобразуем каждое условие:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}3 x - a = 1 \\ a \leq x \\ 0 \leq x \leq 1\end{matrix} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x - a = \left(x - 1\right)^{2} \\ 3 x - a > 0 \\ 0 \leq x \leq 1\end{matrix} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Для второй системы добавим условие $x - 1 \geq 0$, необходимое для возведения в квадрат:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x = \frac{1 + a}{3} \\ a \leq \frac{1 + a}{3} \\ 0 \leq \frac{1 + a}{3} \leq 1\end{matrix} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x - a = \left(x - 1\right)^{2} \\ x - 1 \geq 0 \\ 3 x > a \\ 0 \leq x \leq 1\end{matrix} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Проанализируем полученные случаи:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x = \frac{1 + a}{3} \\ a \leq \frac{1}{2} \\ - 1 \leq a \leq 2\end{matrix} \end{matrix}\right ( 1 ) \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x - a = \left(x - 1\right)^{2} \\ x \geq 1 \\ x > \frac{a}{3} \\ 0 \leq x \leq 1\end{matrix} \end{matrix}\right ( 2 ) \end{matrix}\right.$
Разберем первую ситуацию (1):
$\left\{\begin{matrix} x = \frac{1 + a}{3} \\ a \leq \frac{1}{2} \\ - 1 \leq a \leq 2 \end{matrix}\right.$
Отсюда следует, что значение $x = \frac{1 + a}{3}$ является корнем на заданном отрезке при $a \in \left[- 1 ; \frac{1}{2}\right]$.
Разберем вторую ситуацию (2):
$\left\{\begin{matrix} x - a = \left(x - 1\right)^{2} \\ x \geq 1 \\ x > \frac{a}{3} \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right.$
Так как переменная $x$ одновременно должна быть не меньше 1 и не больше 1, то возможен только вариант $x = 1$.
Подставим это значение в уравнение:
$1 - a = \left(1 - 1\right)^{2}$
$a = 1$. Данное значение параметра удовлетворяет ограничению $1 > \frac{a}{3}$.
Убедимся, что найденные решения не совпадают:
Если $x = \frac{1 + a}{3}$ и $x = 1$, то $\frac{1 + a}{3} = 1$, что дает $a = 2$. Однако при $a = 2$ первый корень не входит в рассматриваемый диапазон, значит, дублирования нет.

Ответ: $\left[- 1 ; \frac{1}{2}\right] \cup \left\{1\right\}$

Источник: ФИПИ