Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Решение:

а) Выполним дополнительное построение: продлим отрезок $BN$ до его пересечения с прямой $AD$ в точке $S.$
Обозначим сторону $AD$ как $2x.$ Согласно условию, $CD = 3AD,$ следовательно, $CD = 6x.$
Тогда имеем: $AM = MD = x,$ а точка $N$ делит сторону $CD$ в отношении $1:2,$ то есть $DN = 2x$ и $CN = 4x.$
Проанализируем пару треугольников $\triangle DNS$ и $\triangle CNB:$
$\angle DSN = \angle NBC$ (как накрест лежащие при параллельных прямых)
$\angle SDN = \angle BCN = 90^{\circ}$
Следовательно, $\triangle DNS \sim \triangle CNB$ по двум углам.
Из подобия вытекает отношение сторон: $\frac{DN}{CN} = \frac{NS}{NB} = \frac{DS}{CB}.$
Подставим значения: $\frac{2x}{4x} = \frac{NS}{NB} = \frac{DS}{2x},$ откуда находим $DS = x.$
Пусть точка $K_{1}$ является точкой пересечения отрезков $BS$ и $MC.$
Рассмотрим треугольники $\triangle MK_{1}S$ и $\triangle K_{1}BC:$
Заметим, что $MS = MD + DS = x + x = 2x,$ значит $MS = BC = 2x.$
$\angle MSK_{1} = \angle K_{1}BC$ и $\angle SMK_{1} = \angle K_{1}CB$ как накрест лежащие углы.
Отсюда следует, что $\triangle MK_{1}S = \triangle K_{1}BC$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Из равенства треугольников получаем $MK_{1} = K_{1}C,$ что означает, что $K_{1}$ — середина отрезка $MC.$
Поскольку по условию $K$ также является серединой $MC,$ точки $K$ и $K_{1}$ совпадают. Это доказывает, что точки $B, K$ и $N$ лежат на одной прямой $BS.$
б) При $AD = 4$ получаем $CD = 12,$ тогда $ND = 4$ и $CN = 8.$
Из ранее установленного подобия $\triangle DNS \sim \triangle CNB$ имеем:
$\frac{NS}{NB} = \frac{1}{2},$ то есть $NB = 2NS.$
Пусть $NS = 2y,$ тогда $NB = 4y,$ а вся длина $BS = 6y.$
Так как $\triangle MKS = \triangle KBC,$ точка $K$ делит $BS$ пополам: $SK = KB = 3y.$
Найдем длину искомого отрезка $NK:$ $NK = SK - SN = 3y - 2y = y.$
Таким образом, $NK = \frac{1}{6}BS.$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABS:$
Катет $AB = CD = 12.$
Катет $AS = AD + DS = 4 + 2 = 6.$
Применим теорему Пифагора:
$BS^{2} = AB^{2} + AS^{2} = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180.$
$BS = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.$
Следовательно, $NK = \frac{1}{6} \cdot 6\sqrt{5} = \sqrt{5}.$

Ответ: б) $\sqrt{5}$

Источник: ФИПИ