Задание №16 — Показательные неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $$\frac{0{,}2^{x} - 125}{4^{x} - 2^{x + 2{,}5} + 8} \leq 0$$ Для начала определим область допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в ноль:
$4^{x} - 2^{x + 2{,}5} + 8 \neq 0$
Преобразуем выражение, используя свойства степени:
$2^{2x} - 2^{x} \cdot 2^{2{,}5} + 8 \neq 0$
Заметим, что $2^{2{,}5} = \sqrt{2^5} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. Однако удобнее представить это как $2 \cdot \sqrt{8}$:
$2^{2x} - 2^{x} \cdot 2\sqrt{8} + 8 \neq 0$
Левая часть представляет собой полный квадрат разности:
$\left(2^{x} - \sqrt{8}\right)^{2} \neq 0$
Следовательно, $2^{x} \neq \sqrt{8}$. Так как $\sqrt{8} = 2^{1{,}5}$, получаем:
$2^{x} \neq 2^{\frac{3}{2}}$
Откуда находим ограничение по переменной: $x \neq 1{,}5$.

Перейдем к решению самого неравенства. Поскольку знаменатель $\left(2^{x} - \sqrt{8}\right)^{2}$ всегда положителен при $x \neq 1{,}5$, дробь будет неположительной тогда и только тогда, когда её числитель меньше или равен нулю:
$0{,}2^{x} - 125 \leq 0$
Представим десятичную дробь и число через основание $5$:
$\left(\frac{1}{5}\right)^{x} \leq 125$
$5^{-x} \leq 5^{3}$
Так как основание степени $5 > 1$, переходим к сравнению показателей с сохранением знака неравенства:
$-x \leq 3$
$x \geq -3$.

Объединим полученное условие с найденным ранее ограничением:

Ответ: $[-3; 1{,}5) \cup (1{,}5; +\infty)$

Источник: ФИПИ