Задание №15 — Сечения

Решение:

а) В плоскости грани $ABB_1A_1$ проведем прямую $BL \parallel A_1M$. Так как $M$ — середина $AA_1$, то $L$ будет серединой ребра $A_1B_1$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей нижнего основания $ABCD$. Проведем через $L$ прямую, параллельную $B_1K$, которая пересечет плоскость основания в точке $O$.
Поскольку плоскость $\alpha$ проходит через прямую $BL$ и параллельна $B_1K$, она содержит и прямую $BO$. Так как $BO$ лежит на диагонали $BD$, вся прямая $BD$ принадлежит искомой плоскости. Отсюда следует, что вершина $D$ также лежит в плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.
б) Для построения сечения проведем в верхней грани отрезок $LN \parallel BD$. Точка $N$ при этом окажется серединой ребра $A_1D_1$. Соединив точки $N$ и $D$, получаем четырехугольник $LNDB$, который и является искомым сечением.
Данная фигура — равнобедренная трапеция, так как $LN \parallel BD$ и боковые стороны равны: $\triangle LB_1B = \triangle ND_1D$ (прямоугольные треугольники по двум катетам).
Площадь сечения вычислим по формуле: $S_{LNDB} = \frac{LN + BD}{2} \cdot h$.
Найдем стороны из $\triangle LB_1B$:
$LB_1 = \frac{1}{2} A_1B_1 = 1{,}5$;
$BB_1 = 3$.
По теореме Пифагора:
$LB = \sqrt{LB_1^2 + BB_1^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 9} = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$.
Следовательно, $ND = LB = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$.
В основании $ABCD$ найдем диагональ $BD$:
$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$.
Отрезок $LN$ является средней линией в $\triangle A_1B_1D_1$, так как $L$ и $N$ — середины соответствующих ребер куба:
$LN = \frac{1}{2} B_1D_1 = \frac{1}{2} BD = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$.
Теперь проанализируем трапецию $LNDB$:

Опустим высоты $LL_1$ и $NN_1$ на основание $BD$.
Тогда $L_1N_1 = LN = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$. В силу равнобедренности трапеции:
$BL_1 = N_1D = \frac{BD - LN}{2} = \frac{3 \sqrt{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$.
Из прямоугольного треугольника $BLL_1$ найдем высоту $h = LL_1$:
$LL_1^2 = BL^2 - BL_1^2 = \frac{45}{4} - \left(\frac{3 \sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{45}{4} - \frac{18}{16} = \frac{180 - 18}{16} = \frac{162}{16}$.
$LL_1 = \sqrt{\frac{162}{16}} = \frac{9 \sqrt{2}}{4}$.
Вычисляем итоговую площадь:
$S_{LNDB} = \frac{\frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{9 \sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{9 \sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{9 \sqrt{2}}{4} = \frac{9 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{9 \sqrt{2}}{4} = \frac{81 \cdot 2}{16} = \frac{81}{8} = 10{,}125$.

Ответ: б) 10,125

Источник: ФИПИ