Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $4 \cos ^{3} x + 3 \sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 0$.
Применим формулу приведения $\sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x$, тогда уравнение примет вид:
$4 \cos ^{3} x - 3 \cos x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos x ( 4 \cos ^{2} x - 3 ) = 0$.
Данное произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $4 \cos ^{2} x - 3 = 0 \Rightarrow \cos ^{2} x = \frac{3}{4}$, что дает нам $\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решениями этого уравнения являются серии точек:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = \pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[- 2 \pi ; - \pi\right]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке располагаются следующие значения:
$x_{1} = - 2 \pi + \frac{\pi}{6} = - \frac{11 \pi}{6}$;
$x_{2} = - \frac{3 \pi}{2}$;
$x_{3} = - \pi - \frac{\pi}{6} = - \frac{7 \pi}{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k$; $\pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi k$; $\pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $- \frac{11 \pi}{6}; - \frac{3 \pi}{2}; - \frac{7 \pi}{6}$.

Источник: ФИПИ