Решение:
а) Да, такая ситуация возможна. Предположим, на доске изначально записаны девятнадцать чисел «10» и одно число «50». Если увеличить последнее число на единицу, оно станет равным 51 и будет удалено. В итоге на доске останется 19 чисел.
Вычислим исходное среднее арифметическое:
$$S_{1} = \frac{19 \cdot 10 + 50}{20} = \frac{240}{20} = 12.$$
После удаления числа 51 среднее арифметическое оставшихся чисел составит:
$$S_{2} = \frac{19 \cdot 10}{19} = 10.$$
Как видим, $10 < 12$, то есть среднее арифметическое действительно уменьшилось.
б) Допустим, среди исходных чисел было $n$ штук, равных 50. Обозначим сумму остальных $(19 - n)$ чисел через $B$, а двадцатое число — через $a$.
Согласно условию, первоначальное среднее арифметическое равно:
$$\frac{50n + B + a}{20} = 24.$$
Когда каждое из $n$ чисел, равных 50, увеличили на 1, они превратились в 51 и были стерты. Количество оставшихся чисел стало равно $20 - n$. Новое среднее арифметическое равно:
$$\frac{B + a}{20 - n} = 17.$$
Составим систему уравнений на основе этих данных:
$$\begin{cases} 50n + B + a = 480 \\ B + a = 17(20 - n) \end{cases}$$
Подставим выражение для $B + a$ из второго уравнения в первое:
$$50n + 17(20 - n) = 480$$
$$50n + 340 - 17n = 480$$
$$33n = 140$$
$$n = \frac{140}{33} = 4\frac{8}{33}.$$
Так как количество чисел $n$ должно быть целым, мы пришли к противоречию. Значит, такая ситуация невозможна.
в) Для минимизации итогового среднего арифметического необходимо, чтобы в начале на доске было как можно больше чисел, равных 50 (которые впоследствии исчезнут), а значения оставшихся чисел были как можно меньше (минимальное натуральное число — 1).
Пусть $n$ — количество чисел «50», $a$ — двадцатое число, а остальные $(19 - n)$ чисел равны 1. Тогда:
$$\frac{50n + (19 - n) \cdot 1 + a}{20} = 24.$$
Упростим уравнение:
$$49n + 19 + a = 480 \Rightarrow 49n = 461 - a.$$
Чтобы $n$ было максимальным, значение $a$ должно быть минимально возможным, при котором $461 - a$ делится на 49.
Если $n = 9$, то $49 \cdot 9 = 441$. Тогда $461 - a = 441$, откуда $a = 20$.
Таким образом, набор состоит из девяти «50», десяти «1» и одного числа «20».
Проверим исходное среднее:
$$S_{1} = \frac{9 \cdot 50 + 10 \cdot 1 + 20}{20} = \frac{450 + 10 + 20}{20} = \frac{480}{20} = 24.$$
После того как все числа «50» будут увеличены и стерты, на доске останется 11 чисел (десять единиц и число 20).
Новое среднее арифметическое составит:
$$S_{2} = \frac{10 \cdot 1 + 20}{11} = \frac{30}{11}.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{30}{11}$

Источник: ФИПИ