Решение:
Разложим левую часть исходного уравнения на множители, вынеся общий логарифм за скобки:
$\ln (x - 2a) \cdot (\sqrt{x + 3a} - (x - 1)) = 0$
Для того чтобы уравнение имело корни на заданном отрезке $[0; 1]$, необходимо выполнение условий области определения и равенство одного из множителей нулю. Это приводит к совокупности двух систем:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \ln(x - 2a) = 0 \\ x + 3a \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x + 3a} = x - 1 \\ x - 2a > 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Преобразуем каждое условие:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x - 2a = 1 \\ x \geq -3a \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x + 3a = (x - 1)^2 \\ x - 1 \geq 0 \\ x > 2a \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Подставим $x = 2a + 1$ в первую систему и проанализируем ограничения для второй:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x = 2a + 1 \\ 2a + 1 \geq -3a \\ 0 \leq 2a + 1 \leq 1 \end{matrix}\right. \quad (1) \\ \left\{\begin{matrix} x + 3a = (x - 1)^2 \\ x \geq 1 \\ x > 2a \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \quad (2) \end{matrix}\right.$
Решим систему (1):
Из неравенств получаем: $5a \geq -1 \Rightarrow a \geq -0,2$ и $-1 \leq 2a \leq 0 \Rightarrow -0,5 \leq a \leq 0$.
Пересечение этих условий дает промежуток $a \in [-0,2; 0]$. В этом случае корень $x = 1 + 2a$ попадает в отрезок $[0; 1]$.

Решим систему (2):
Заметим, что условия $x \geq 1$ и $0 \leq x \leq 1$ одновременно выполняются только при $x = 1$.
Подставим это значение в уравнение: $1 + 3a = (1 - 1)^2$, откуда $1 + 3a = 0$, то есть $a = -\frac{1}{3}$.
Проверим условие логарифма: $x > 2a \Rightarrow 1 > 2 \cdot (-\frac{1}{3}) \Rightarrow 1 > -\frac{2}{3}$ — верно.

Проверим, могут ли корни из обеих систем совпасть:
Если $x = 1$, то из первой системы $1 = 1 + 2a$, что дает $a = 0$.
При $a = 0$ корень $x = 1$ уже включен в найденный ранее промежуток.
Объединяя результаты, получаем итоговые значения параметра.

Ответ: $\left\{-\frac{1}{3}\right\} \cup \left[-\frac{1}{5}; 0\right]$

Источник: ФИПИ