Задание 19

Уравнения и неравенства с параметром · 100 заданий

Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 2^(|x| + 3) + 7 |x| + 1 = 8 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 6 · 2^(|x|) + 7 |x| + 1 = 6 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 3 · 2^(|x|) + 5 |x| + 4 = 3 y + 5 x² + 3 a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 5 · 2^(|x|) + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x² - a; x² + y² = 1 имеет единственное решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { |x - a| + |y| = 2; y = √(4 - x²) имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a (x + 9/x)² - 2 (x + 9/x) - 49 a + 14 = 0 имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sin 3 x + asin x = 0 не имеет решений на интервале (0; π/4).
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln (5 x - 2) · √(x² - 2 x + 2 a - a²) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ((a - x - 4) (a² + x² - 10))/(√(- 6 x - x²)) = 0 имеет хотя бы одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { y = - |x - a| + 1; |y| + x² + 2 x = 0 имеет ровно четыре различных решения…
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { √(a - y²) = √(a - x²); x² + y² = 2 x + 4 y имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(2 x - 1) · ln (4 x - a) = √(2 x - 1) · ln (5 x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1…
С параметрами

Задание №19 — Уравнения с параметром

Найдите все значения параметра $a ,$ при каждом из которых уравнение
$\sqrt{x + 3 a} \cdot \ln \left(x - 2 a\right) = \left(x - 1\right) \cdot \ln \left(x - 2 a\right)$
имеет ровно один корень на отрезке $\left[0 ; 1\right] .$

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Разложим левую часть исходного уравнения на множители, вынеся общий логарифм за скобки:
$\ln (x - 2a) \cdot (\sqrt{x + 3a} - (x - 1)) = 0$
Для того чтобы уравнение имело корни на заданном отрезке $[0; 1]$ , необходимо выполнение условий области определения и равенство одного из множителей нулю. Это приводит к совокупности двух систем:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \ln(x - 2a) = 0 \\ x + 3a \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x + 3a} = x - 1 \\ x - 2a > 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Преобразуем каждое условие:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x - 2a = 1 \\ x \geq -3a \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x + 3a = (x - 1)^2 \\ x - 1 \geq 0 \\ x > 2a \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Подставим $x = 2a + 1$ в первую систему и проанализируем ограничения для второй:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x = 2a + 1 \\ 2a + 1 \geq -3a \\ 0 \leq 2a + 1 \leq 1 \end{matrix}\right. \quad (1) \\ \left\{\begin{matrix} x + 3a = (x - 1)^2 \\ x \geq 1 \\ x > 2a \\ 0 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right. \quad (2) \end{matrix}\right.$
Решим систему (1):
Из неравенств получаем: $5a \geq -1 \Rightarrow a \geq -0,2$ и $-1 \leq 2a \leq 0 \Rightarrow -0,5 \leq a \leq 0$ .
Пересечение этих условий дает промежуток $a \in [-0,2; 0]$ . В этом случае корень $x = 1 + 2a$ попадает в отрезок $[0; 1]$ .

Решим систему (2):
Заметим, что условия $x \geq 1$ и $0 \leq x \leq 1$ одновременно выполняются только при $x = 1$ .
Подставим это значение в уравнение: $1 + 3a = (1 - 1)^2$ , откуда $1 + 3a = 0$ , то есть $a = -\frac{1}{3}$ .
Проверим условие логарифма: $x > 2a \Rightarrow 1 > 2 \cdot (-\frac{1}{3}) \Rightarrow 1 > -\frac{2}{3}$ — верно.

Проверим, могут ли корни из обеих систем совпасть:
Если $x = 1$ , то из первой системы $1 = 1 + 2a$ , что дает $a = 0$ .
При $a = 0$ корень $x = 1$ уже включен в найденный ранее промежуток.
Объединяя результаты, получаем итоговые значения параметра.

Ответ: $\left\{-\frac{1}{3}\right\} \cup \left[-\frac{1}{5}; 0\right]$

Источник: ФИПИ