Решение:

а) Выполним дополнительное построение: продлим отрезок $BN$ до его пересечения с прямой $AD$ в точке $S.$
Обозначим сторону $AD$ как $2x.$ Согласно условию, $CD = 3AD = 6x.$
Отсюда следует, что $AM = MD = x,$ а точка $N$ делит сторону $CD$ в отношении $1:2,$ то есть $DN = 2x$ и $CN = 4x.$
Проанализируем пару треугольников $\triangle DNS$ и $\triangle CNB:$
1) $\angle DSN = \angle NBC$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC;$
2) $\angle SDN = \angle BCN = 90^{\circ}.$
Следовательно, $\triangle DNS \sim \triangle CNB$ по двум углам.
Из подобия вытекает отношение сторон: $\frac{DN}{CN} = \frac{NS}{NB} = \frac{DS}{CB}.$
Подставим известные значения: $\frac{2x}{4x} = \frac{NS}{NB} = \frac{DS}{2x}.$ Отсюда находим, что $DS = x.$
Пусть точка $K_{1}$ — это точка пересечения отрезков $BS$ и $MC.$
Рассмотрим треугольники $\triangle MK_{1}S$ и $\triangle BK_{1}C:$
Заметим, что $MS = MD + DS = x + x = 2x,$ значит $MS = BC = 2x.$
Углы $\angle MSK_{1}$ и $\angle K_{1}BC$ равны как накрест лежащие, аналогично $\angle SMK_{1} = \angle K_{1}CB.$
Значит, $\triangle MK_{1}S = \triangle BK_{1}C$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Из равенства треугольников следует, что $MK_{1} = K_{1}C,$ то есть $K_{1}$ является серединой отрезка $MC.$
Поскольку по условию $K$ — середина $MC,$ точки $K$ и $K_{1}$ совпадают. Это доказывает, что точки $B, K$ и $N$ лежат на одной прямой $BS.$
б) Дано, что $AD = 4\sqrt{5}.$ Тогда $x = 2\sqrt{5}.$
Вычислим длины: $CD = 12\sqrt{5},$ $DN = 4\sqrt{5},$ $CN = 8\sqrt{5}.$
Из подобия $\triangle DNS \sim \triangle CNB$ мы знаем, что $\frac{NS}{NB} = \frac{1}{2},$ то есть $NB = 2NS.$
Пусть $NS = 2y,$ тогда $NB = 4y,$ а вся длина $BS = 6y.$
Так как $\triangle MK_{1}S = \triangle BK_{1}C,$ точка $K$ делит $BS$ пополам: $SK = KB = 3y.$
Тогда отрезок $NK = SK - SN = 3y - 2y = y.$ Заметим, что $NK = \frac{1}{6}BS.$
Найдем длину $BS$ из прямоугольного треугольника $\triangle ABS:$
Катет $AB = CD = 12\sqrt{5}.$
Катет $AS = AD + DS = 2x + x = 3x = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}.$
Воспользуемся теоремой Пифагора:
$BS^{2} = AB^{2} + AS^{2} = (12\sqrt{5})^{2} + (6\sqrt{5})^{2} = 144 \cdot 5 + 36 \cdot 5 = 180 \cdot 5 = 900.$
Следовательно, $BS = 30.$
Искомая длина $NK = \frac{1}{6} \cdot 30 = 5.$

Ответ: б) 5

Источник: ФИПИ