Задание №16 — Показательные неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $$\frac{1{,}5^{x} - 3{,}375}{0{,}25^{x} - 0{,}5^{x - 3{,}5} + 32} \leq 0$$ Для начала определим область допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в нуль:
$0{,}25^{x} - 0{,}5^{x - 3{,}5} + 32 \neq 0$
Преобразуем выражение, перейдя к основанию $\frac{1}{2}$:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} - \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 3{,}5} + 32 \neq 0$
Заметим, что $0{,}5^{-(3{,}5)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{7}{2}} = 2^{\frac{7}{2}} = \sqrt{2^7} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$. Однако удобнее представить это как $2 \cdot \sqrt{32}$:
$\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \cdot \sqrt{128} + 32 \neq 0$
Выражение в левой части представляет собой полный квадрат разности:
$\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} - \sqrt{32}\right)^{2} \neq 0$
Следовательно, основание квадрата не должно равняться нулю:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \neq \sqrt{32}$
Приведем обе части к основанию $2$:
$2^{-x} \neq 2^{2{,}5}$
Откуда получаем ограничение: $x \neq -2{,}5$.

Поскольку знаменатель $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} - \sqrt{32}\right)^{2}$ всегда положителен при $x \neq -2{,}5$, знак всей дроби зависит только от числителя. Неравенство сводится к следующему:
$1{,}5^{x} - 3{,}375 \leq 0$
Перейдем к обыкновенным дробям:
$\left(\frac{3}{2}\right)^{x} \leq \frac{3375}{1000}$
$\left(\frac{3}{2}\right)^{x} \leq \frac{27}{8}$
Заметим, что $\frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3}$:
$\left(\frac{3}{2}\right)^{x} \leq \left(\frac{3}{2}\right)^{3}$
Так как основание $1{,}5 > 1$, то знак неравенства для показателей сохраняется:
$x \leq 3$.

Исключая из найденного луча точку $x = -2{,}5$, получаем итоговое решение:

Ответ: $(-\infty; -2{,}5) \cup (-2{,}5; 3]$

Источник: ФИПИ