Задание №15 — Сечения

Решение:

а) Построим прямую $BL$, параллельную $A_{1}M$, где точка $L$ является серединой ребра $A_{1}B_{1}$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей нижнего основания $ABCD$. Проведем через $L$ прямую, параллельную $B_{1}K$, которая пересечет плоскость основания в точке $O$.
Заметим, что искомая плоскость $\alpha$ проходит через прямую $BO$. Поскольку отрезок $BO$ лежит на диагонали $BD$, вся прямая $BD$ целиком принадлежит плоскости $\alpha$. Отсюда следует, что вершина $D$ также лежит в плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.
б) Для построения сечения проведем в грани $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ отрезок $LN \parallel BD$, где $N$ — середина ребра $A_{1}D_{1}$. Соединив точки $N$ и $D$, получим четырехугольник $LNDB$, который и является искомым сечением.
Данное сечение представляет собой равнобедренную трапецию, так как треугольники $LB_{1}B$ и $ND_{1}D$ равны по двум катетам ($LB_{1} = ND_{1} = 1$ и $BB_{1} = DD_{1} = 2$).
Площадь трапеции вычислим по формуле: $S_{LNDB} = \frac{LN + BD}{2} \cdot h$.
Найдем боковую сторону из $\triangle LB_{1}B$:
$LB_{1} = \frac{1}{2} A_{1}B_{1} = 1$, $B_{1}B = 2$.
По теореме Пифагора:
$LB = \sqrt{LB_{1}^{2} + BB_{1}^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
Следовательно, $LB = ND = \sqrt{5}$.
Найдем основание $BD$ из $\triangle ABD$:
$AB = AD = 2$, тогда $BD = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}$.
Отрезок $LN$ является средней линией в $\triangle A_{1}B_{1}D_{1}$, так как $L$ и $N$ — середины соответствующих сторон.
Значит, $LN = \frac{1}{2} B_{1}D_{1} = \frac{1}{2} BD = \sqrt{2}$.
Рассмотрим геометрию трапеции $LNDB$:

Опустим высоты $LL_{1}$ и $NN_{1}$ на основание $BD$.
Так как $L_{1}N_{1} = LN = \sqrt{2}$, то отрезки $BL_{1}$ и $N_{1}D$ равны:
$BL_{1} = \frac{BD - LN}{2} = \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $BLL_{1}$ найдем высоту $h = LL_{1}$:
$LL_{1}^{2} = LB^{2} - BL_{1}^{2} = 5 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = 5 - \frac{2}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$.
$LL_{1} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
Вычисляем искомую площадь:
$S_{LNDB} = \frac{\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{2} = 4{,}5$.

Ответ: б) 4,5

Источник: ФИПИ