Решение:
а) Исходное уравнение: $4 \cos^{3} x + \sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 0$.
Применим формулу приведения: $\sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x$. Тогда уравнение примет вид:
$4 \cos^{3} x - \cos x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos x (4 \cos^{2} x - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $4 \cos^{2} x - 1 = 0 \Rightarrow \cos^{2} x = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos x = \pm \frac{1}{2}$.
Решая эти простейшие уравнения, получаем:
$\left[\begin{matrix} x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}. \end{matrix}\right.$

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $[\pi; 2\pi]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке лежат следующие значения:
$x_{1} = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4 \pi}{3}$;
$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$;
$x_{3} = 2 \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5 \pi}{3}.$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $\pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $\pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{4 \pi}{3}; \frac{3 \pi}{2}; \frac{5 \pi}{3}$.

Источник: ФИПИ