Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Разберем первое уравнение системы: $y^{2} - xy + 3 x - y - 6 = 0$.
Представим его как квадратное относительно переменной $y$:
$y^{2} - (x + 1)y + 3x - 6 = 0$.
Найдем дискриминант данного выражения:
$D = (x + 1)^{2} - 4(3x - 6) = x^{2} + 2x + 1 - 12x + 24 = x^{2} - 10x + 25 = (x - 5)^{2}$.
Корни уравнения вычисляются по формуле: $y = \frac{(x + 1) \pm (x - 5)}{2}$.
Отсюда получаем две линейные зависимости: $y = x - 2$ и $y = 3$.
Таким образом, исходная задача сводится к анализу системы:
$\left\{\begin{matrix} -2 \leq x < 6 \\ \left[ \begin{matrix} y = x - 2 \\ y = 3 \\ x = -2 \end{matrix} \right. \\ y = a - x \end{matrix}\right.$
Здесь последнее уравнение $y = -x + a$ задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$.
Для построения прямой $y = x - 2$ воспользуемся характерными точками:

Анализируя графическое представление, определим значения параметра $a$, при которых прямая $y = a - x$ имеет ровно две общие точки с графиком совокупности на заданном промежутке. Это происходит в объединении интервалов $(l_{1}; l_{2}] \cup \{l_{3}\} \cup [l_{4}; l_{5})$.
Найдем значения $a$ для граничных положений прямой:
1) Прямая $l_{1}$ касается границы области в точке $(-2; -4)$: $a = x + y = -2 - 4 = -6$.
2) Прямая $l_{2}$ проходит через вершину угла в точке $(-2; 3)$: $a = -2 + 3 = 1$.
3) Прямая $l_{3}$ проходит через точку пересечения линий $y = x - 2$ и $y = 3$. Приравняв их, находим $x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$. Точка $(5; 3)$ дает значение $a = 5 + 3 = 8$.
4) Прямая $l_{4}$ проходит через выколотую точку на линии $y = 3$ с абсциссой $x = 6$, то есть через $(6; 3)$: $a = 6 + 3 = 9$.
5) Прямая $l_{5}$ проходит через выколотую точку на линии $y = x - 2$ с абсциссой $x = 6$, то есть через $(6; 4)$: $a = 6 + 4 = 10$.

Ответ: $(-6; 1] \cup \{8\} \cup [9; 10)$

Источник: ФИПИ