Задание №18 — Окружности и четырехугольники

Решение:

а) Исходя из того, что $ABCD$ является ромбом, все его стороны равны: $AB = BC = CD = AD$. Следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный, и углы при его основании равны: $\angle CAB = \angle ACB$.
Рассмотрим треугольники $AMB$ и $BNC$. У них $AB = BC$, по условию $AM = NC$, а также $\angle MAB = \angle MCB$. Из этого следует, что $\triangle AMB = \triangle BNC$, а значит, $MB = NB$.
Заметим подобие $\triangle ABN \sim \triangle CQN$: углы $\angle CAB$ и $\angle QCN$ равны как накрест лежащие, а $\angle ANB$ и $\angle QNC$ — как вертикальные. Коэффициент подобия находим из отношения сторон: $\frac{AB}{CQ} = \frac{BN}{QN} = \frac{AN}{CN}$. Так как $AN = 2 CN$, то $\frac{AN}{CN} = \frac{2}{1}$.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть $S_{NQC} = \frac{1}{4} S_{ANB}$. Также из отношения $\frac{AB}{CQ} = 2$ следует, что $CQ = \frac{1}{2} AB$, а значит, $Q$ — середина стороны $DC$.
Проведя аналогичные рассуждения для $\triangle CMB \sim \triangle AMD$, получим, что $P$ является серединой стороны $AD$.
Проведем диагональ $DB$. Она делит ромб на два равных треугольника: $\triangle ABD = \triangle DCB$.
Поскольку $P$ — середина $AD$, отрезок $BP$ является медианой в $\triangle ABD$, разделяя его на две равновеликие части:
$S_{ABP} = S_{BPD} = \frac{1}{2} S_{ABD} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.
Точно так же для треугольника $DCB$ точка $Q$ — середина $DC$, поэтому:
$S_{BQC} = S_{DQB} = \frac{1}{2} S_{DCB} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.
Суммарная площадь четырехугольника $PDQB$ складывается из площадей двух треугольников:
$S_{PDQB} = S_{PDB} + S_{DQB} = \frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.
Так как площадь треугольника $ADC$ также составляет половину площади ромба ($S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$), то $S_{PDQB} = S_{ADC}$, что и требовалось доказать.

б) Соединим вершины $D$ с точками $M$ и $N$.
В треугольнике $ADN$ точка $P$ — середина $AD$, а $M$ — середина $AN$. Значит, $PM$ — средняя линия, откуда $PM \parallel DN$. Аналогично в треугольнике $CDM$ отрезок $QN$ является средней линией, следовательно, $QN \parallel DM$.
По условию пятиугольник $DQNMP$ вписан в окружность. Наличие параллельных сторон $PM \parallel DN$ и $QN \parallel DM$ вписанного четырехугольника (например, $PMND$) означает, что это равнобедренная трапеция. Отсюда следует, что $PD = MN$.
Аналогично, $DQNM$ — также равнобедренная трапеция, и $DQ = MN$.
Нам дано $AC = 2 \sqrt{5}$. Отрезок $MN$ составляет треть диагонали $AC$, то есть $MN = \frac{1}{3} AC = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$. Следовательно, $PD = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$.
Так как $P$ — середина $AD$, то сторона ромба $AD = 2 PD = \frac{4 \sqrt{5}}{3}$.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали перпендикулярны ($AO \perp DB$) и делятся точкой $O$ пополам.
Тогда $AO = \frac{1}{2} AC = \sqrt{5}$.
Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $AOD$:
$AD^{2} = OD^{2} + AO^{2}$;
$OD^{2} = AD^{2} - AO^{2} = \left(\frac{4 \sqrt{5}}{3}\right)^2 - (\sqrt{5})^2 = \frac{80}{9} - 5 = \frac{35}{9}$.
Отсюда $OD = \frac{\sqrt{35}}{3}$.
Длина всей диагонали $DB = 2 \cdot OD = \frac{2 \sqrt{35}}{3}$.

Ответ: $\frac{2 \sqrt{35}}{3}$

Источник: ФИПИ