Задание №16 — Показательные неравенства

Решение:
Для решения введём новую переменную, положив $3^{x} = t$. Исходное неравенство примет вид:
$$\frac{117 - 15 t}{t^{2} - 36 t + 243} - \frac{1}{2} \geq 0$$ Приведём левую часть к общему знаменателю, разложив квадратный трёхчлен в знаменателе на множители:
$$\frac{2(117 - 15 t) - (t^{2} - 36 t + 243)}{2 (t - 27) (t - 9)} \geq 0$$ Раскроем скобки и упростим числитель:
$$\frac{234 - 30 t - t^{2} + 36 t - 243}{2 (t - 27) (t - 9)} \geq 0$$ $$\frac{-t^{2} + 6 t - 9}{2 (t - 27) (t - 9)} \geq 0$$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства, и выделим полный квадрат в числителе:
$$\frac{t^{2} - 6 t + 9}{2 (t - 27) (t - 9)} \leq 0$$ $$\frac{(t - 3)^{2}}{(t - 27) (t - 9)} \leq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Учитывая, что $t = 3^x$, перейдём к обратной замене. Из рисунка видно, что условию удовлетворяет точка $t = 3$ и интервал от $9$ до $27$:
$$\left[\begin{matrix} 3^{x} = 3 \\ 9 < 3^{x} < 27 \end{matrix}\right.$$ Отсюда находим значения $x$:
$$\left[\begin{matrix} x = 1 \\ 2 < x < 3 \end{matrix}\right.$$

Ответ: $\{1\} \cup (2; 3)$

Источник: ФИПИ