Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Логарифмические уравнения

а) Решите уравнение $\log _{2} \left(x^{2} + 2 x\right) = 3 .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log _{3} 0{,}1 ; \log _{3} 13\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим уравнение: $\log _{2} (x^{2} + 2x) = 3$ .
Для начала определим область допустимых значений переменной. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^{2} + 2x > 0$
Разложим выражение на множители: $x(x + 2) > 0$ .
Воспользуемся методом интервалов:

Следовательно, $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$ .
Теперь перейдем к решению самого уравнения, используя определение логарифма:
$x^{2} + 2x = 2^{3}$
$x^{2} + 2x - 8 = 0$
Применим теорему Виета для поиска корней квадратного уравнения:
$\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = -8 \\ x_{1} + x_{2} = -2 \end{cases}$
Отсюда получаем два значения: $x_{1} = -4$ и $x_{2} = 2$ .
Проверим, входят ли найденные числа в область допустимых значений:

Оба корня удовлетворяют условию $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$ . Таким образом, решениями пункта (а) являются $x = -4$ и $x = 2$ .

б) Выполним отбор полученных корней на заданном промежутке $[\log_{3} 0,1; \log_{3} 13]$ .
Представим корни в виде логарифмов по основанию 3 для удобства сравнения:
$x_{1} = -4 = \log_{3} 3^{-4} = \log_{3} \frac{1}{81}$
$x_{2} = 2 = \log_{3} 3^{2} = \log_{3} 9$
Сравним аргументы логарифмов:
Так как $0,1 = \frac{1}{10}$ , а $\frac{1}{81} < \frac{1}{10}$ , то корень $x = -4$ не попадает в отрезок.
Поскольку $0,1 < 9 < 13$ , корень $x = 2$ принадлежит указанному промежутку.

В заданный интервал попадает только значение $x = 2$ .

Ответ: а) $-4; 2$ ; б) 2

Источник: ФИПИ