Задание №13 — Логарифмические уравнения

Решение:
а) Рассмотрим уравнение: $\log _{2} (x^{2} + 2x) = 3$.
Для начала определим область допустимых значений переменной. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^{2} + 2x > 0$
Разложим выражение на множители: $x(x + 2) > 0$.
Воспользуемся методом интервалов:

Следовательно, $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.
Теперь перейдем к решению самого уравнения, используя определение логарифма:
$x^{2} + 2x = 2^{3}$
$x^{2} + 2x - 8 = 0$
Применим теорему Виета для поиска корней квадратного уравнения:
$$\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = -8 \\ x_{1} + x_{2} = -2 \end{cases}$$
Отсюда получаем два значения: $x_{1} = -4$ и $x_{2} = 2$.
Проверим, входят ли найденные числа в область допустимых значений:

Оба корня удовлетворяют условию $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$. Таким образом, решениями пункта (а) являются $x = -4$ и $x = 2$.

б) Выполним отбор полученных корней на заданном промежутке $[\log_{3} 0,1; \log_{3} 13]$.
Представим корни в виде логарифмов по основанию 3 для удобства сравнения:
$x_{1} = -4 = \log_{3} 3^{-4} = \log_{3} \frac{1}{81}$
$x_{2} = 2 = \log_{3} 3^{2} = \log_{3} 9$
Сравним аргументы логарифмов:
Так как $0,1 = \frac{1}{10}$, а $\frac{1}{81} < \frac{1}{10}$, то корень $x = -4$ не попадает в отрезок.
Поскольку $0,1 < 9 < 13$, корень $x = 2$ принадлежит указанному промежутку.

В заданный интервал попадает только значение $x = 2$.

Ответ: а) $-4; 2$; б) 2

Источник: ФИПИ