Задание 19

Уравнения и неравенства с параметром · 100 заданий

Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 2^(|x| + 3) + 7 |x| + 1 = 8 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 6 · 2^(|x|) + 7 |x| + 1 = 6 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 3 · 2^(|x|) + 5 |x| + 4 = 3 y + 5 x² + 3 a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 5 · 2^(|x|) + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x² - a; x² + y² = 1 имеет единственное решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { |x - a| + |y| = 2; y = √(4 - x²) имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a (x + 9/x)² - 2 (x + 9/x) - 49 a + 14 = 0 имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sin 3 x + asin x = 0 не имеет решений на интервале (0; π/4).
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln (5 x - 2) · √(x² - 2 x + 2 a - a²) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ((a - x - 4) (a² + x² - 10))/(√(- 6 x - x²)) = 0 имеет хотя бы одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { y = - |x - a| + 1; |y| + x² + 2 x = 0 имеет ровно четыре различных решения…
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { √(a - y²) = √(a - x²); x² + y² = 2 x + 4 y имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(2 x - 1) · ln (4 x - a) = √(2 x - 1) · ln (5 x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1…
С параметрами

Задание №19 — Системы с параметром

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых система уравнений
$\left\{\begin{matrix} \frac{\left(y^{2} - 7 y + xy - 4 x + 12\right) \sqrt{x - 4}}{\sqrt{y + 7}} = 0 , \\ a = x + y . \end{matrix}\right.$
имеет единственное решение.

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Разложим на множители уравнение $y^{2} - 7 y + xy - 4 x + 12 = 0$ , рассматривая его как квадратное относительно переменной $y$ :
$y^{2} + y(x - 7) - 4x + 12 = 0$
Вычислим дискриминант данного выражения:
$D = (x - 7)^{2} - 4(12 - 4x) = x^{2} - 14x + 49 - 48 + 16x = x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2}$
Находим корни уравнения:
$y = \frac{-(x - 7) \pm (x + 1)}{2}$
Откуда получаем две линейные зависимости: $y_1 = 4$ и $y_2 = 3 - x$ .
С учетом всех условий, исходная система принимает вид:
$\left\{\begin{matrix} x \geq 4 \\ y > -7 \\ \left[\begin{matrix} x = 4 \\ y = 3 - x \\ y = 4 \end{matrix}\right. \\ y = a - x \end{matrix}\right.$
Последнее уравнение $y = a - x$ представляет собой семейство прямых, параллельных $y = -x$ , где $a$ — параметр, отвечающий за сдвиг. Рассмотрим график функции $y = 3 - x$ по характерным точкам:

x	3	4	-1	-7
y	0	-1	4	10

Анализируя графическое представление, определим значения параметра, при которых система имеет ровно одно решение. Это происходит в промежутках $(l_1; l_2) \cup (l_2; l_3]$ .
1) Прямая $l_1$ соответствует случаю прохождения через граничную точку $(4; -7)$ , тогда $a = x + y = 4 + (-7) = -3$ .
2) Прямая $l_2$ проходит через точку стыка графиков $(4; -1)$ , откуда $a = 4 + (-1) = 3$ .
3) Прямая $l_3$ проходит через точку пересечения линий $y = 4$ и $x = 4$ , то есть через $(4; 4)$ , что дает $a = 4 + 4 = 8$ .

Таким образом, искомые значения параметра лежат в интервалах от $-3$ до $3$ и от $3$ до $8$ включительно.

Ответ: $(-3; 3) \cup (3; 8]$

Источник: ФИПИ