Решение:
Разложим на множители уравнение $y^{2} - 7 y + xy - 4 x + 12 = 0$, рассматривая его как квадратное относительно переменной $y$:
$y^{2} + y(x - 7) - 4x + 12 = 0$
Вычислим дискриминант данного выражения:
$D = (x - 7)^{2} - 4(12 - 4x) = x^{2} - 14x + 49 - 48 + 16x = x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2}$
Находим корни уравнения:
$y = \frac{-(x - 7) \pm (x + 1)}{2}$
Откуда получаем две линейные зависимости: $y_1 = 4$ и $y_2 = 3 - x$.
С учетом всех условий, исходная система принимает вид:
$\left\{\begin{matrix} x \geq 4 \\ y > -7 \\ \left[\begin{matrix} x = 4 \\ y = 3 - x \\ y = 4 \end{matrix}\right. \\ y = a - x \end{matrix}\right.$
Последнее уравнение $y = a - x$ представляет собой семейство прямых, параллельных $y = -x$, где $a$ — параметр, отвечающий за сдвиг. Рассмотрим график функции $y = 3 - x$ по характерным точкам:

x	3	4	-1	-7
y	0	-1	4	10

Анализируя графическое представление, определим значения параметра, при которых система имеет ровно одно решение. Это происходит в промежутках $(l_1; l_2) \cup (l_2; l_3]$.
1) Прямая $l_1$ соответствует случаю прохождения через граничную точку $(4; -7)$, тогда $a = x + y = 4 + (-7) = -3$.
2) Прямая $l_2$ проходит через точку стыка графиков $(4; -1)$, откуда $a = 4 + (-1) = 3$.
3) Прямая $l_3$ проходит через точку пересечения линий $y = 4$ и $x = 4$, то есть через $(4; 4)$, что дает $a = 4 + 4 = 8$.

Таким образом, искомые значения параметра лежат в интервалах от $-3$ до $3$ и от $3$ до $8$ включительно.

Ответ: $(-3; 3) \cup (3; 8]$

Источник: ФИПИ