Задание №18 — Окружности и четырехугольники

Решение:

а) Исходя из свойств ромба $ABCD$, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным, откуда получаем равенство углов при основании: $\angle CAB = \angle ACB$.
Рассмотрим треугольники $AMB$ и $BNC$. По условию $AM = NC$, стороны ромба $AB = BC$, а углы $\angle MAB$ и $\angle MCB$ равны. Значит, $\triangle AMB = \triangle BNC$ по двум сторонам и углу между ними, откуда $MB = NB$.
Заметим, что $\triangle ABN \sim \triangle CQN$, так как $\angle BAN = \angle QCN$ (накрест лежащие при $AB \parallel CD$) и $\angle ANB = \angle QNC$ (вертикальные).
Учитывая, что $AN = 2 CN$ (так как $AC = AM + MN + NC$ и $AM=MN=NC$), коэффициент подобия равен $k = \frac{AN}{CN} = 2$. Тогда $\frac{AB}{CQ} = 2$, что означает, что $Q$ является серединой стороны $CD$. Отношение площадей этих треугольников равно $k^2 = 4$, то есть $S_{NQC} = \frac{1}{4} S_{ANB}$.
Аналогично доказывается подобие $\triangle CMB \sim \triangle AMP$, откуда следует, что $P$ — середина стороны $AD$, а $S_{AMP} = \frac{1}{4} S_{CMB}$.
Проведем диагональ $BD$. Она делит ромб на два равных треугольника: $S_{ABD} = S_{BCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.
В треугольнике $ABD$ отрезок $BP$ является медианой, так как $P$ — середина $AD$. Медиана делит треугольник на две равновеликие части: $S_{ABP} = S_{BPD} = \frac{1}{2} S_{ABD} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.
По аналогии для треугольника $BCD$ получаем: $S_{BQC} = S_{DQB} = \frac{1}{2} S_{BCD} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.
Площадь четырехугольника $PDQB$ складывается из площадей треугольников $PDB$ и $DQB$:
$S_{PDQB} = S_{PDB} + S_{DQB} = \frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.
Так как площадь треугольника $ADC$ также составляет половину площади ромба ($S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$), то $S_{PDQB} = S_{ADC}$, что и требовалось доказать.

б) Соединим точки $D$ с $M$ и $N$.
В треугольнике $ADN$ точка $P$ — середина $AD$, а $M$ — середина $AN$ (так как $AM=MN$). Значит, $PM$ — средняя линия $\triangle ADN$, следовательно, $PM \parallel DN$. Аналогично в треугольнике $DMC$ отрезок $QN$ является средней линией, поэтому $QN \parallel DM$.
Поскольку пятиугольник $PQNMP$ вписан в окружность, то и четырехугольник $PMND$ также вписан. Так как $PM \parallel DN$, этот четырехугольник — вписанная трапеция, которая обязательно является равнобедренной. Отсюда $PD = MN$.
Аналогично $DQNM$ — равнобедренная трапеция, где $DQ = MN$. Таким образом, $PD = DQ = MN$.
По условию $AC = 2\sqrt{3}$. Так как точки $M$ и $N$ делят $AC$ на три равные части, то $MN = \frac{1}{3} AC = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Тогда $PD = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Поскольку $P$ — середина $AD$, сторона ромба $AD = 2 PD = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали перпендикулярны и делятся точкой $O$ пополам: $AO = \frac{1}{2} AC = \sqrt{3}$ и $AO \perp OD$.
Из прямоугольного треугольника $AOD$ по теореме Пифагора найдем $OD$:
$OD^2 = AD^2 - AO^2 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 - (\sqrt{3})^2 = \frac{48}{9} - 3 = \frac{16}{3} - \frac{9}{3} = \frac{7}{3}$.
$OD = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$.
Тогда длина всей диагонали $DB = 2 \cdot OD = \frac{2\sqrt{21}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{21}}{3}$

Источник: ФИПИ