Задание №15 — Показательные неравенства

Решение:
Для упрощения выражения введем новую переменную, положив $2^{x} = t$, где $t > 0$. Исходное неравенство примет вид:
$$\frac{31 - 5 t}{t^{2} - 24 t + 128} - \frac{1}{4} \geq 0$$
Приведем дроби к общему знаменателю, предварительно разложив квадратный трехчлен в знаменателе первой дроби на множители: $t^{2} - 24 t + 128 = (t - 16)(t - 8)$. Получим:
$$\frac{4(31 - 5t) - (t^2 - 24t + 128)}{4(t - 16)(t - 8)} \geq 0$$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$$\frac{124 - 20t - t^2 + 24t - 128}{4(t - 16)(t - 8)} \geq 0$$
$$\frac{-t^2 + 4t - 4}{4(t - 16)(t - 8)} \geq 0$$
Умножим обе части неравенства на $-4$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$$\frac{t^2 - 4t + 4}{(t - 16)(t - 8)} \leq 0$$
Заметим, что в числителе находится полный квадрат разности:
$$\frac{(t - 2)^2}{(t - 16)(t - 8)} \leq 0$$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Из чертежа видно, что решением для переменной $t$ являются точка $t = 2$ и интервал $8 < t < 16$.
Перейдем обратно к переменной $x$:
$$\left[\begin{matrix} 2^{x} = 2 \\ 8 < 2^{x} < 16 \end{matrix}\right.$$
Решая совокупность, находим значения $x$:
$$\left[\begin{matrix} x = 1 \\ 3 < x < 4 \end{matrix}\right.$$

Ответ: $\{1\} \cup (3; 4)$

Источник: ФИПИ