Задание №13 — Логарифмические уравнения

Решение:
а) Рассмотрим уравнение: $\log _{2} \left(x^{2} - 2 x\right) = 3$.
Для начала определим область допустимых значений переменной. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^{2} - 2 x > 0$
Разложим левую часть на множители: $x (x - 2) > 0$.
Воспользуемся методом интервалов:

Получаем промежутки: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.
Теперь перейдем к решению самого уравнения, используя определение логарифма:
$x^{2} - 2 x = 2^{3}$
$x^{2} - 2 x - 8 = 0$
Применим теорему Виета для поиска корней квадратного уравнения:
$$\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{1} \cdot x_{2} = -8 \end{cases}$$
Отсюда находим значения: $x_{1} = 4$ и $x_{2} = -2$.

Оба найденных числа удовлетворяют условию $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.
Следовательно, корнями уравнения являются: $x = -2$ и $x = 4$.

б) Выполним отбор полученных корней на заданном отрезке $[\log_{2} 0{,}1; \log_{2} 13]$.
Представим корни в виде логарифмов по основанию 2:
$x_{1} = -2 = \log_{2} 2^{-2} = \log_{2} 0{,}25$
$x_{2} = 4 = \log_{2} 2^{4} = \log_{2} 16$
Сравним аргументы логарифмов:
Так как $0{,}1 < 0{,}25 < 13$, то корень $x = -2$ попадает в указанный интервал.
Так как $16 > 13$, то корень $x = 4$ не принадлежит данному отрезку.

В итоге, условию пункта б) удовлетворяет только $x = -2$.

Ответ: а) -2; 4; б) -2.

Источник: ФИПИ