Решение:
Вспомним определение среднего арифметического: $M = \frac{S}{n}$, где $S$ — сумма элементов, а $n$ — их количество. Отсюда сумма набора вычисляется как $S = M \cdot n$.
Пусть на доске выписаны числа. Возьмем два произвольных числа из набора, $x_1$ и $x_2$, и дополним их еще одним числом $a$. По условию, среднее арифметическое любых трех чисел — целое число. Тогда:
$x_1 + a + b = 3 \cdot M_1$
$x_2 + a + b = 3 \cdot M_2$
Вычитая одно равенство из другого, получим: $x_1 - x_2 = 3(M_1 - M_2)$. Это означает, что разность любых двух чисел из набора кратна 3. Аналогичные рассуждения для групп из 4, 5 и 6 чисел показывают, что разность любых двух чисел набора должна делиться на 4, 5 и 6 одновременно. Следовательно, разность любых двух чисел делится на наименьшее общее кратное этих чисел: $\text{НОК}(3, 4, 5, 6) = 60$.

а) Проверим числа 30035 и 325. Их разность составляет: $30035 - 325 = 29710$.
Проверим делимость на 3: сумма цифр числа $2+9+7+1+0 = 19$, что не делится на 3. Значит, разность не кратна 60.
Ответ: нет.

б) Поскольку число 30035 присутствует в наборе, а разность любых чисел кратна 60, все числа в наборе должны иметь вид $60k + 35$ (так как $30035 = 500 \cdot 60 + 35$, то есть дает остаток 35 при делении на 60).
Если мы умножим каждое число на 7, то новое число будет иметь вид:
$7 \cdot (60k + 35) = 420k + 245 = 60 \cdot (7k + 4) + 5$.
Новое число дает остаток 5 при делении на 60. Однако для того, чтобы условие задачи продолжало выполняться (разность кратна 60), все числа должны сохранять исходный остаток 35.
Ответ: нет.

в) Пусть в наборе $n$ чисел. Чтобы среднее арифметическое всех $n$ чисел было целым и имело тот же остаток при делении на 60, необходимо, чтобы сумма $S = n \cdot (60k + 35)$ при делении на $n$ давала число, разность которого с остальными числами кратна 60.
Фактически, среднее арифметическое $M = \frac{S}{n}$ должно давать остаток 35 при делении на 60.
Сумма $n$ чисел вида $60k_i + 35$ равна $60 \sum k_i + 35n$.
Тогда $M = \frac{60 \sum k_i + 35n}{n} = \frac{60 \sum k_i}{n} + 35$.
Для того чтобы $M$ было целым и $M - 35$ делилось на 60, нужно, чтобы $\frac{60 \sum k_i}{n}$ было кратно 60.
Рассмотрим условие из шага (а): сумма $n$ чисел должна быть такой, чтобы $S = n \cdot M$.
Так как каждое число $x_i \equiv 35 \pmod{60}$, то $S \equiv 35n \pmod{60}$.
Среднее арифметическое $M$ также должно удовлетворять $M \equiv 35 \pmod{60}$.
Тогда $35n \equiv 35 \pmod{60}$, что эквивалентно $35(n - 1) \equiv 0 \pmod{60}$.
Разделим обе части на 5: $7(n - 1) \equiv 0 \pmod{12}$.
Так как 7 и 12 взаимно просты, то $(n - 1)$ должно делиться на 12.
Минимальное натуральное $n > 1$, удовлетворяющее этому условию: $n - 1 = 12 \Rightarrow n = 13$.
Пример такого набора: $n = 13$ чисел, где каждое число равно 30035.
Ответ: 13.

Ответ: а) нет б) нет в) 13

Источник: ФИПИ