Задание №19 — Уравнения с параметром

Решение:
Для упрощения введем замену переменной. Пусть $t = \left|x - 2 a - 1\right| + \left|x - 2 a + 1\right|.$ Тогда исходное уравнение примет вид квадратного относительно $t^2$, но удобнее рассмотреть его как $t^{2} + at + a^{2} - 48 = 0.$

Исследуем поведение функции $t(x) = \left|x - (2 a + 1)\right| + \left|x - (2 a - 1)\right|.$
Определим критические точки, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль:
$x_1 = 2 a + 1$ и $x_2 = 2 a - 1.$
Раскроем модули на различных промежутках оси $Ox$:
1) При $x \leq 2 a - 1$: $t = -(x - 2 a - 1) - (x - 2 a + 1) = -2x + 4a.$
2) При $2 a - 1 < x < 2 a + 1$: $t = -(x - 2 a - 1) + (x - 2 a + 1) = 2.$
3) При $x \geq 2 a + 1$: $t = (x - 2 a - 1) + (x - 2 a + 1) = 2x - 4a.$

Графическая интерпретация зависимости $t$ от $x$:

Анализ количества корней в зависимости от значения $t$:
— Если $t < 2$, уравнение не имеет решений относительно $x$.
— Если $t = 2$, решением является целый отрезок (бесконечно много значений $x$).
— Если $t > 2$, каждому значению $t$ соответствуют ровно 2 значения $x$.
Следовательно, для того чтобы исходная задача имела ровно 2 решения, квадратное уравнение относительно $t$ должно иметь ровно один корень в области $t > 2$.

Рассмотрим два возможных сценария:

Сценарий 1: Один корень уравнения $t^{2} + at + a^{2} - 48 = 0$ больше 2, а другой — меньше 2.
График функции $f(t) = t^{2} + at + a^{2} - 48$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Условие нахождения числа 2 между корнями равносильно отрицательному значению функции в этой точке:
$f(2) < 0$
$2^{2} + a \cdot 2 + a^{2} - 48 < 0$
$a^{2} + 2 a - 44 < 0$
Выделим полный квадрат: $(a + 1)^{2} - 45 < 0$, что раскладывается как $(a + 1 - 3 \sqrt{5})(a + 1 + 3 \sqrt{5}) < 0.$

Отсюда получаем интервал: $a \in (-1 - 3 \sqrt{5}; -1 + 3 \sqrt{5}).$

Сценарий 2: Уравнение имеет единственный корень (кратности 2), и этот корень больше 2.
Это соответствует случаю нулевого дискриминанта и соответствующего положения вершины:
$\begin{cases} D = a^{2} - 4(a^{2} - 48) = 0 \\ t_{верш} = -\frac{a}{2} > 2 \end{cases}$
$\begin{cases} -3a^{2} + 192 = 0 \\ a < -4 \end{cases}$
$\begin{cases} a^{2} = 64 \\ a < -4 \end{cases}$

Из двух корней $a = \pm 8$ условию удовлетворяет только $a = -8.$

Ответ: $\{-8\} \cup (-1 - 3\sqrt{5}; -1 + 3\sqrt{5})$

Источник: ФИПИ