Задание №15 — Сечения

Решение:
а) Рассмотрим грань $SBC$ и проведём в ней высоту $BH$ к ребру $SC$. Поскольку заданная пирамида $SABCD$ является правильной, треугольники $SAD$ и $SCB$ равны. Следовательно, высоты этих треугольников, опущенные на общее для боковых граней ребро $SC$, будут сходиться в одной точке $H$. Таким образом, $BH \perp SC$ и $DH \perp SC$, из чего следует, что плоскость $\alpha$, проходящая через прямые $BH$ и $DH$, перпендикулярна ребру $SC$.

Точка $O$, как точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$, лежит на отрезке $BD$. Так как отрезок $BD$ целиком принадлежит плоскости $BHD$, то и точка $O$ лежит в плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.
б) В основании правильной пирамиды лежит квадрат $ABCD$ со стороной $AB = BC = 4$. Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $ABC$:
$$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 4^2 + 4^2 = 32,$$ откуда $AC = 4\sqrt{2}$. Поскольку диагонали квадрата точкой пересечения $O$ делятся пополам, получаем $AO = OC = OD = OB = 2\sqrt{2}$. Следовательно, длина всей диагонали $DB = 4\sqrt{2}$.
Площадь треугольника $DHB$ по условию равна $2\sqrt{14}$. С другой стороны, $S_{DHB} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot OH$. Выразим высоту $OH$:
$$OH = \frac{2 \cdot S_{DHB}}{DB} = \frac{4\sqrt{14}}{4\sqrt{2}} = \sqrt{7}.$$
Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна $SC$, то любая прямая в этой плоскости, проходящая через $H$, перпендикулярна $SC$. Значит, $OH \perp SC$, и треугольник $OHC$ является прямоугольным. По теореме Пифагора:
$$HC^{2} = OC^{2} - OH^{2} = (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2 = 8 - 7 = 1,$$ следовательно, $HC = 1$.
В прямоугольном треугольнике $SOC$ отрезок $OH$ является высотой, опущенной на гипотенузу. По свойству катета имеем: $OC^{2} = SC \cdot HC$. Подставим значения: $8 = SC \cdot 1$, откуда $SC = 8$.
Вычислим длину отрезка $SH$: $SH = SC - HC = 8 - 1 = 7$.
Таким образом, искомое отношение равно: $\frac{SH}{HC} = \frac{7}{1}$.

Ответ: б) $7:1$

Источник: ФИПИ