Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение: $2 - 2 \cos ^{2} x + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} - 2 \sin \left(x - \pi\right)$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и формулой приведения $\sin(x - \pi) = -\sin x$. Уравнение примет вид:
$2 \sin^{2} x + \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} - 2 \sin x = 0$.
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$2 \sin x (\sin x - 1) + \sqrt{2} (\sin x - 1) = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$(\sin x - 1)(2 \sin x + \sqrt{2}) = 0$.
Отсюда получаем два возможных случая:
1) $\sin x = 1$, что дает решение $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
2) $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$, откуда следуют две серии корней:
$\left[\begin{matrix} x = - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = - \frac{3 \pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[- 2 \pi ; - \frac{\pi}{2}\right]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке лежат следующие значения:
$x_{1} = - \frac{3 \pi}{2}$ (соответствует точке $\frac{\pi}{2}$);
$x_{2} = - \pi + \frac{\pi}{4} = - \frac{3 \pi}{4}$ (соответствует точке $- \frac{3 \pi}{4}$).

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $- \frac{\pi}{4} + 2\pi k$; $- \frac{3 \pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $- \frac{3 \pi}{2}; - \frac{3 \pi}{4}$.

Источник: ФИПИ