Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а)  Решите уравнение $2 - 2 \cos ^{2} x + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} - 2 \sin \left(x - \pi\right) .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- 2 \pi ; - \frac{\pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение: $2 - 2 \cos ^{2} x + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} - 2 \sin \left(x - \pi\right)$ .
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и формулой приведения $\sin(x - \pi) = -\sin x$ . Уравнение примет вид:
$2 \sin^{2} x + \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} - 2 \sin x = 0$ .
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$2 \sin x (\sin x - 1) + \sqrt{2} (\sin x - 1) = 0$ .
Вынесем общий множитель за скобки:
$(\sin x - 1)(2 \sin x + \sqrt{2}) = 0$ .
Отсюда получаем два возможных случая:
1) $\sin x = 1$ , что дает решение $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ ;
2) $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , откуда следуют две серии корней:
$\left[\begin{matrix} x = - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = - \frac{3 \pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[- 2 \pi ; - \frac{\pi}{2}\right]$ , используя единичную окружность.

На указанном отрезке лежат следующие значения:
$x_{1} = - \frac{3 \pi}{2}$ (соответствует точке $\frac{\pi}{2}$ );
$x_{2} = - \pi + \frac{\pi}{4} = - \frac{3 \pi}{4}$ (соответствует точке $- \frac{3 \pi}{4}$ ).

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ ; $- \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ ; $- \frac{3 \pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ ; б) $- \frac{3 \pi}{2}; - \frac{3 \pi}{4}$ .

Источник: ФИПИ